Utilizando os seus conhecimentos sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares, faça o que se pede: (\mathbf{2 , 4})
(a) Seja A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\\\ -3 & 3 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1\end{array}\right] uma matriz de ordem 3. A é invertível? Em caso afirmativo, determine A^{-1}; em caso negativo, justifique. (\mathbf{0 , 9})
(b) Dado o sistema linear S=\left\{\begin{array}{l}x+y+7 z=-7 \\\\ 2 x+3 y+17 z=-16 \\\ x+2 y+\left(a^{2}+1\right) z=3 a\end{array}\right., determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. (1,5)
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Dada a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}\), decidir se \(A\) é invertível e, em caso afirmativo, calcular \(A^{-1}\).
- (b) Dado o sistema linear
\[S:\begin{cases} x+y+7z=-7,\\\\ 2x+3y+17z=-16,\\\ x+2y+(a^2+1)z=3a, \end{cases}
classificar o sistema em função de (a] como possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
Conteúdo: determinantes para decidir invertibilidade e classificação de sistemas via determinante e consistência.
Como as duas linhas resultantes têm mesmo lado esquerdo [0,1,3] mas termos independentes diferentes -2\neq16, o sistema é inconsistente e portanto impossível.
Passo 7
Para a=-3 também \det(M)=0. Repetindo a eliminação:
agora as duas equações são idênticas e não geram contradição. O posto da matriz de coeficientes é 2, igual ao posto da matriz aumentada, menor que 3 variáveis, logo o sistema tem infinitas soluções. É possível e indeterminado.