Utilizando os seus conhecimentos sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares, faça o que se pede: (\mathbf{2 , 4})
(a) Seja A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\\\ -3 & 3 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1\end{array}\right] uma matriz de ordem 3. A é invertível? Em caso afirmativo, determine A^{-1}; em caso negativo, justifique. (\mathbf{0 , 9})
(b) Dado o sistema linear S=\left\{\begin{array}{l}x+y+7 z=-7 \\\\ 2 x+3 y+17 z=-16 \\\ x+2 y+\left(a^{2}+1\right) z=3 a\end{array}\right., determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. (1,5)

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) Dada a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}\), decidir se \(A\) é invertível e, em caso afirmativo, calcular \(A^{-1}\). - (b) Dado o sistema linear \[S:\begin{cases} x+y+7z=-7,\\\\ 2x+3y+17z=-16,\\\ x+2y+(a^2+1)z=3a, \end{cases}
classificar o sistema em função de (a] como possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
Conteúdo: determinantes para decidir invertibilidade e classificação de sistemas via determinante e consistência.

Passo 2

Para (a), calculamos o determinante de
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ -3 & 3 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou cofactores na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 1&1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-3&0\\\ -1&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) =1\cdot(3\cdot1-0)-(-2)\cdot\bigl((-3)\cdot1-0\bigr) =3-2\cdot(-3)=3-(-6)= -3.
Como \det(A)=-3\neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Para achar A^{-1} usamos a fórmula A^{-1}=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Calculamos a matriz de cofactores e transpunha-mos:
cofatores C_{ij}:
\begin{aligned} C_{11}&=+\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=3,& C_{12}&=-\det\begin{pmatrix}-3&0\\\ -1&1\end{pmatrix}=3,& C_{13}&=+\det\begin{pmatrix}-3&3\\\ -1&1\end{pmatrix}=0,\\\ C_{21}&=-\det\begin{pmatrix}-2&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=2,& C_{22}&=+\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix}=1,& C_{23}&=-\det\begin{pmatrix}1&-2\\\ -1&1\end{pmatrix}=1,\\\ C_{31}&=+\det\begin{pmatrix}-2&0\\\ 3&0\end{pmatrix}=0,& C_{32}&=-\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -3&0\end{pmatrix}=0,& C_{33}&=+\det\begin{pmatrix}1&-2\\\ -3&3\end{pmatrix}=-3. \end{aligned}
Logo
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} C_{11}&C_{21}&C_{31}\\\ C_{12}&C_{22}&C_{32}\\\ C_{13}&C_{23}&C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&2&0\\\\ 3&1&0\\\\ 0&1&-3 \end{pmatrix},
e
A^{-1}=\frac1{-3} \begin{pmatrix} 3&2&0\\\\ 3&1&0\\\\ 0&1&-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac23 & 0\\[6pt] -1 & -\tfrac13 & 0\\[6pt] 0 & -\tfrac13 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para (b), formamos a matriz dos coeficientes
M=\begin{pmatrix} 1&1&7\\\\ 2&3&17\\\\ 1&2&a^2+1 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}3&17\\\ 2&a^2+1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&17\\\ 1&a^2+1\end{pmatrix} +7\cdot\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&2\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(M) =(3(a^2+1)-34)-\bigl(2(a^2+1)-17\bigr)+7\cdot1 =(3a^2-31)-(2a^2-15)+7 =a^2-9=(a-3)(a+3).

Passo 5

Se \det(M)\neq0, ou seja a\neq\pm3, o sistema é possível e determinado (única solução).

Passo 6

Para a=3 temos \det(M)=0. Fazendo eliminação de Gauss:
\begin{aligned} R_2&\leftarrow R_2-2R_1\implies[0,1,3\mid -2],\\\ R_3&\leftarrow R_3-R_1\implies[0,1,3\mid 9-(-7)=16]. \end{aligned}
Como as duas linhas resultantes têm mesmo lado esquerdo [0,1,3] mas termos independentes diferentes -2\neq16, o sistema é inconsistente e portanto impossível.

Passo 7

Para a=-3 também \det(M)=0. Repetindo a eliminação:
R_2\!-\!2R_1=[0,1,3\mid -2],\quad R_3\!-\!R_1=[0,1,3\mid -2],
agora as duas equações são idênticas e não geram contradição. O posto da matriz de coeficientes é 2, igual ao posto da matriz aumentada, menor que 3 variáveis, logo o sistema tem infinitas soluções. É possível e indeterminado.

Resposta

(a) \det(A)=-3\neq0, logo A é invertível e
A^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac23 & 0\\\\ -1 & -\tfrac13 & 0\\\\ 0 & -\tfrac13 & 1 \end{pmatrix}.
(b)
  • Para a\neq\pm3: sistema possível e determinado.
  • Para a=3: sistema impossível.
  • Para a=-3: sistema possível e indeterminado.

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