Calcular a curvatura das seguintes parábolas:
b) r(t) = (t, t^2 + 1), -infinito < t < +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da parábola dada pela equação paramétrica . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de curvatura de curvas parametrizadas. Vamos precisar encontrar as primeiras e segundas derivadas das funções que definem a parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e que compõem a nossa parábola:
Essas são as coordenadas em termos de .

Passo 3

Agora, vamos descobrir as primeiras derivadas de e em relação a . As primeiras derivadas representam as velocidades nas direções e :

Passo 4

Em seguida, precisamos das segundas derivadas de e . As segundas derivadas nos dão informações sobre as acelerações nas direções e :

Passo 5

Com essas derivadas em mãos, vamos utilizar a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas:
Essa fórmula nos ajuda a calcular o quão “curvada” a parábola está em cada ponto.

Passo 6

Vamos substituir as derivadas que encontramos na fórmula:
Simplificando, chegamos à expressão final da curvatura em termos de .

Resposta

A curvatura da parábola é:

Exercícios relacionados