Calcular a curvatura das seguintes parábolas:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da parábola dada pela equação paramétrica
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de curvatura de curvas parametrizadas. Vamos precisar encontrar as primeiras e segundas derivadas das funções que definem a parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que compõem a nossa parábola:
Essas são as coordenadas em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir as primeiras derivadas de
e
em relação a
. As primeiras derivadas representam as velocidades nas direções
e
:
Passo 4
Em seguida, precisamos das segundas derivadas de
e
. As segundas derivadas nos dão informações sobre as acelerações nas direções
e
:
Passo 5
Com essas derivadas em mãos, vamos utilizar a fórmula da curvatura
para curvas parametrizadas:
Essa fórmula nos ajuda a calcular o quão “curvada” a parábola está em cada ponto.
Passo 6
Vamos substituir as derivadas que encontramos na fórmula:
Simplificando, chegamos à expressão final da curvatura em termos de
.
Resposta
A curvatura da parábola
é: