Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b) y' + 2y = x e^(-2x), y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para resolver a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação diferencial padrão . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
O fator integrante ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que facilita a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Escrevemos a equação como a derivada de :
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para dividindo por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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