Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação diferencial padrão
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
O fator integrante ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que facilita a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Escrevemos a equação como a derivada de
:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
dividindo por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: