Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(m)
(m)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Precisamos resolver essa equação encontrando um fator integrante, já que a equação não é exata. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes para tornar a equação exata e assim facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicado na equação original, a torne exata. Geralmente, buscamos fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
Passo 4
Depois de multiplicar a equação por
, a nova equação será:
Para que essa equação seja exata, devemos ter:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
e
):
Isolando
:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial para
. Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Podemos considerar
para simplificar, então:
Passo 6
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, verificamos a exatidão da nova equação.
Passo 7
Com a equação agora exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Simplificando:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante, que podemos considerar como zero.
Passo 8
Portanto, a função potencial é:
Podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.