Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(m) (x*y^2 + 2) dx + 3*x^2*y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Precisamos resolver essa equação encontrando um fator integrante, já que a equação não é exata. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes para tornar a equação exata e assim facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na equação original, a torne exata. Geralmente, buscamos fatores que dependem apenas de ou apenas de .
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de , ou seja, .

Passo 4

Depois de multiplicar a equação por , a nova equação será:
Para que essa equação seja exata, devemos ter:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo e ):
Isolando :

Passo 5

Essa é uma equação diferencial para . Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Podemos considerar para simplificar, então:

Passo 6

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, verificamos a exatidão da nova equação.

Passo 7

Com a equação agora exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante, que podemos considerar como zero.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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