Calcular a curvatura das seguintes parábolas:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular a curvatura da parábola dada pela função vetorial
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas paramétricas. Vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas de
e
, e depois aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Isso nos ajuda a focar nas partes que precisamos derivar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
E a primeira derivada de
:
Essas derivadas representam as velocidades nas direções x e y.
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
:
E a segunda derivada de
:
As segundas derivadas nos dão as acelerações nas direções x e y.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula da curvatura
para curvas paramétricas:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão no denominador:
Então:
Resposta
A curvatura da parábola
é dada por: