Calcular a curvatura das seguintes parábolas:
a) vec(r)(t) = (2t, 4t^2) ; -infinito < t < +infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular a curvatura da parábola dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas paramétricas. Vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas de e , e depois aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Isso nos ajuda a focar nas partes que precisamos derivar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
E a primeira derivada de :
Essas derivadas representam as velocidades nas direções x e y.

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de :
E a segunda derivada de :
As segundas derivadas nos dão as acelerações nas direções x e y.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no denominador:
Então:

Resposta

A curvatura da parábola é dada por:

Exercícios relacionados