Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
(a) y=x^{2} e y=\sqrt{x}; ao redor do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x^2 e y = \sqrt{x} em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por revolução usando o método dos anéis, com a fórmula
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] \, dx.
Precisamos achar os limites de integração a e b, o raio externo R(x) e o raio interno r(x).

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção resolvendo
x^2 = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad x^4 = x \quad\Longrightarrow\quad x(x^3 - 1) = 0
Logo, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1.

Passo 3

Para 0 \le x \le 1 temos x^2 \le \sqrt{x}. Então
R(x) = \sqrt{x}, \qquad r(x) = x^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula de volume:
V = \pi \int_{0}^{1} \Bigl[(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2\Bigr] \, dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl[x - x^4\bigr] \, dx.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \frac{1}{5},
então
\int_{0}^{1} (x - x^4) \, dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}.

Resposta

V = \frac{3\pi}{10}.

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