Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
(b) 0 \leq x \leq 1 e x^{2} \leq y \leq 1; ao redor do eixo y;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região
0 \le x \le 1,\quad x^2 \le y \le 1
em torno do eixo y. Vamos usar o método dos cilindros (casca cilíndrica) para integrar em x.

Passo 2

Em cada fatia vertical de espessura dx a uma distância x do eixo y, ao girar, forma-se um cilindro de raio x e altura dada pela diferença entre o teto e o chão da região:
\text{altura} = 1 - x^2.

Passo 3

O volume de cada casca é 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx. Logo,
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\,(1 - x^2)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
\int_{0}^{1} x\,(1 - x^2)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx \;-\;\int_{0}^{1} x^3\,dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^1 \;-\;\Bigl[\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_0^1 = \tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14.
Portanto,
V = 2\pi \cdot \tfrac14 = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

Exercícios relacionados