Calcular a derivada de cada função abaixo:
h) f(x)=(12-x^2)^-2
R) 4 x(12-x^2)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de duas funções. O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia (para potências de funções) e a regra do quociente (para uma razão de funções).

Passo 2

Para
f(x) = l(12 - x^2r)^-2
aplicamos a regra da cadeia. Seja u(x)=12-x^2, então f(x)=u(x)^-2. Temos
ddxl[u^-2r] = -2,u^-3,dudx
e
dudx = ddx(12 - x^2) = -2x
Logo,
f'(x) = -2,(12 - x^2)^-3,(-2x) = 4x,(12 - x^2)^-3 = 4x(12 - x^2)^3

Passo 3

Para
g(x) = 4x(12 - x^2)^3
usamos a regra do quociente. Definimos
u(x)=4x, v(x)=(12 - x^2)^3
Então
u'(x)=4, v'(x)=3,(12 - x^2)^2cdot(-2x) = -6x,(12 - x^2)^2
A regra do quociente diz
g'(x) = u'v - u,v'v^2 = 4,(12 - x^2)^3 - 4xl[-6x,(12 - x^2)^2r](12 - x^2)^6
No numerador fatoramos 4,(12 - x^2)^2:
4,(12 - x^2)^3 + 24x^2,(12 - x^2)^2 =4,(12 - x^2)^2l[(12 - x^2)+6x^2r] =4,(12 - x^2)^2,(12+5x^2)
Dividindo pelo denominador (12 - x^2)^6 obtemos
g'(x) = 4,(12 - x^2)^2,(12+5x^2)(12 - x^2)^6 = 4,(12+5x^2)(12 - x^2)^4

Resposta

h) f'(x)=4x(12 - x^2)^3
r) g'(x)=4,(12+5x^2)(12 - x^2)^4

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