Calcular a derivada de cada função abaixo:
j) f(x)=4 raiz[3]x^2
R) 83 raiz[3]x

Passo 1

Resumo: o enunciado pede para calcular as derivadas de duas funções envolvendo raízes, ou seja, aplicar a regra da potência com expoentes fracionários. Vamos reescrever cada função em forma de potência e usar ddx[x^n]=n x^n-1.

Passo 2

Para a letra j), reescrevemos f(x)=4raiz[3]x^2 como f(x)=4 x^2/3. Aplicando a regra da potência, f'(x)=4cdot 23x^2/3-1.
Agora simplificamos: 4cdot 23=83 e 2/3-1=-1/3, então f'(x)=83x^-1/3. Por fim, escrevemos x^-1/3 como 1/raiz[3]x, resultando em f'(x)=83raiz[3]x.

Passo 3

Para a letra R), começamos com g(x)=83raiz[3]x, que é o mesmo que g(x)=83x^-1/3. Aplicando a regra da potência, obtemos g'(x)=83cdot(-13)x^-1/3-1.
Fazendo as contas, 83cdot(-13)=-89 e -1/3-1=-4/3, então g'(x)=-89x^-4/3. Se quiser, podemos reescrever x^-4/3 como 1/x^4/3, ficando g'(x)=-89x^4/3.

Resposta

j) f'(x)=83x^-1/3=83raiz[3]x. R) f'(x)=-89x^-4/3.

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