Um reservatório de água tem base quadrada e formato de prisma reto com tampa. Seu volume é de 10 m^3 e o custo do material utilizado na construção é R 100,00 por \mathrm{m}^{2}$. Quais as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção?
Quais as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção? base e altura iguais a base e a<ura iguais a

Passo 1

O enunciado pede para projetar um reservatório prismático de base quadrada com tampa, de volume fixo de 10 m^3, de modo a minimizar o custo do material, que é proporcional à área total. O conteúdo utilizado será otimização de área com restrição de volume, usando derivadas.

Passo 2

Definimos x como o lado da base quadrada e h como a altura do prisma. A condição de volume fixo é
x^2 h = 10
Queremos a área total S (duas bases + quatro faces laterais):
S = 2x^2 + 4x,h

Passo 3

Usando h = 10x^2 na expressão de S, obtemos
S(x) = 2x^2 + 4xcdot10x^2 = 2x^2 + 40x
Como o custo é C(x)=100,S(x), minimizar C é equivalente a minimizar S.

Passo 4

Calculamos a derivada de S em relação a x:
S'(x) = 4x - 40x^2
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
4x = 40x^2 Longrightarrow x^3 = 10 Longrightarrow x = raiz[3]10

Passo 5

Verificamos que S''(x)=4 + tfrac80x^3>0, logo é mínimo. A altura correspondente é
h = 10x^2 = 10(raiz[3]10)^2 = raiz[3]10

Resposta

O reservatório de custo mínimo é aquele em que o lado da base e a altura são iguais a
raiz[3]10 mapprox2,15 m

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