Um reservatório de água tem base quadrada e formato de prisma reto com tampa. Seu volume é de
e o custo do material utilizado na construção é R
100,00
\mathrm{m}^{2}$. Quais as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção?
base e altura iguais a
Passo 1
O enunciado pede para projetar um reservatório prismático de base quadrada com tampa, de volume fixo de
, de modo a minimizar o custo do material, que é proporcional à área total. O conteúdo utilizado será otimização de área com restrição de volume, usando derivadas.
Passo 2
Definimos
como o lado da base quadrada e
como a altura do prisma. A condição de volume fixo é
Queremos a área total
(duas bases
quatro faces laterais):
Passo 3
Usando
na expressão de
, obtemos
Como o custo é
, minimizar
é equivalente a minimizar
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
Passo 5
Verificamos que
, logo é mínimo. A altura correspondente é
Resposta
O reservatório de custo mínimo é aquele em que o lado da base e a altura são iguais a