Mostre que as sequências e são divergentes mas a sequência é convergente
Passo 1
O enunciado apresenta três sequências: , e .
Queremos mostrar que e são divergentes (tendem a ) e que é convergente (tende a ). Para isso usaremos a definição de divergência para (propriedade “para todo existe tal que para a sequência ultrapassa ”) e a definição de convergência a via “-".
Passo 2
Analisemos . Aqui é um parâmetro fixo, de modo que é constante não nula. Sem perda de generalidade, suponha . Então
é da forma constante, e como temos . Formalmente, dado , basta escolher
Para todo segue
o que prova que , ou seja, diverge.
Passo 3
Agora . É ainda mais direto: dado , escolha
Para todo tem-se
logo e também diverge.
Passo 4
Passamos a . Note que para vale
Como , pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
Passo 5
Fazendo a demonstração - para : dado , basta escolher
Então, para todo , usando a desigualdade anterior,
ou seja, . Assim cm converge para 0.
Resposta
am e bm divergem para +infty. cm converge e limmtoinftycm=0.