Mostre que as sequências am=m^2n-3 e bm=m^2 são divergentes mas a sequência cm=m^2m^3+4 é convergente

Passo 1

O enunciado apresenta três sequências:
am=m^2n-3, bm=m^2 e cm=m^2m^3+4.
Queremos mostrar que am e bm são divergentes (tendem a +infty) e que cm é convergente (tende a 0). Para isso usaremos a definição de divergência para +infty (propriedade “para todo M>0 existe N tal que para m>N a sequência ultrapassa M”) e a definição de convergência a 0 via “ varepsilon- N".

Passo 2

Analisemos am=m^2n-3. Aqui nneq3 é um parâmetro fixo, de modo que n-3 é constante não nula. Sem perda de generalidade, suponha n-3>0. Então
am =m^2n-3
é da forma constante times m^2, e como m^2to+infty temos amto+infty. Formalmente, dado M>0, basta escolher
N=raiz(n-3),M,
Para todo m>N segue
am =m^2n-3 >N^2n-3 =(n-3),Mn-3 =M,
o que prova que limmtoinftyam=+infty, ou seja, am diverge.

Passo 3

Agora bm=m^2. É ainda mais direto: dado M>0, escolha
N=raizM
Para todo m>N tem-se
bm=m^2>N^2=M,
logo limmtoinftybm=+infty e bm também diverge.

Passo 4

Passamos a cm=m^2m^3+4. Note que para m>=1 vale
0<= cm =m^2m^3+4 <=m^2m^3 =1m
Como limmtoinfty1m=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
limmtoinftycm=0

Passo 5

Fazendo a demonstração varepsilon- N para cmto0: dado varepsilon>0, basta escolher
N=1varepsilon
Então, para todo m>N, usando a desigualdade anterior,
0<= cm<=1m<1N=varepsilon,
ou seja, l|cm-0r|<varepsilon. Assim cm converge para 0.

Resposta

am e bm divergem para +infty.
cm converge e limmtoinftycm=0.

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