Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ y(x) = \frac{8x}{x^{2} + 4} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do tópico de Derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Na nossa função $ y(x) = \frac{8x}{x^{2} + 4} $:
- Numerador (u): $ u = 8x $
- Denominador (v): $ v = x^{2} + 4 $
Passo 3
Agora, vamos relembrar a Regra do Quociente. Se temos uma função da forma $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada dessa função, $ y’ $, é dada por:
Ou seja, a derivada de $ y $ é igual a derivada de $ u $ vezes $ v $ menos $ u $ vezes a derivada de $ v $, tudo isso dividido por $ v $ ao quadrado.
Passo 4
Vamos calcular agora as derivadas de $ u $ e $ v $:
-
Derivada de $ u $:$ u = 8x $A derivada de $ 8x $ em relação a $ x $ é simplesmente 8, porque a derivada de $ x $ é 1.
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Derivada de $ v $:$ v = x^{2} + 4 $A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de uma constante é 0.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente usando os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do numerador:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função $ y(x) = \frac{8x}{x^{2} + 4} $ é: