Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
y(x)=8 xx^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ y(x) = \frac{8x}{x^{2} + 4} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do tópico de Derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Na nossa função $ y(x) = \frac{8x}{x^{2} + 4} $:
  • Numerador (u): $ u = 8x $
  • Denominador (v): $ v = x^{2} + 4 $

Passo 3

Agora, vamos relembrar a Regra do Quociente. Se temos uma função da forma $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada dessa função, $ y’ $, é dada por:
y = uv
Ou seja, a derivada de $ y $ é igual a derivada de $ u $ vezes $ v $ menos $ u $ vezes a derivada de $ v $, tudo isso dividido por $ v $ ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular agora as derivadas de $ u $ e $ v $:
  • Derivada de $ u $:
    $ u = 8x $
    A derivada de $ 8x $ em relação a $ x $ é simplesmente 8, porque a derivada de $ x $ é 1.
    u
  • Derivada de $ v $:
    $ v = x^{2} + 4 $
    A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de uma constante é 0.
    v

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente usando os valores que encontramos:
y' = u'v - uv'v^2 = (8)(x^2 + 4) - (8x)(2x)(x^2 + 4)^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do numerador:
8(x^2 + 4) - 8x(2x) = 8x^2 + 32 - 16x^2
Agora, combinamos os termos semelhantes:
8x^2 - 16x^2 + 32 = -8x^2 + 32
Então, a derivada fica:
y' = -8x^2 + 32(x^2 + 4)^2

Resposta

A derivada da função $ y(x) = \frac{8x}{x^{2} + 4} $ é:
y(x) = 8xx^2 + 4

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