Calcular a derivada.
f(t)=arccos (sen t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(t)=arccos(sin t). O conteúdo principal é a derivada de função composta, aplicando a regra da cadeia, a derivada de arccos(u) e a de sin t.

Passo 2

Identificamos a função externa
alpha(u)=arccos(u)
e a interna
u(t)=sin t
Sabemos que
alpha'(u)=-1raiz1-u^2

Passo 3

A derivada da parte interna é
u'(t)=ddtsin t=cos t

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(t)=alpha'(u(t))cdot u'(t) =-1raiz1-(sin t)^2;cos t =-cos traiz1-sin^2 t

Passo 5

Observando que
raiz1-sin^2 t=raizcos^2 t=|cos t|,
podemos simplificar para
f'(t)=-cos t|cos t|,
válido quando cos tneq0. Isso mostra que
f'(t)= -1,&cos t>0, +1,&cos t<0

Resposta

f'(t)=-cos traiz1-sin^2 t l(ou;;f'(t)=-tfraccos t|cos t|,;cos tneq0r)

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