Prove diretamente da definição de limite que:
c) A sequência \frac{1}{8 n^{3}-7} tende para zero.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{1}{8n^{3}-7}
e pede para provar, diretamente pela definição de limite de sequência, que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Para isso, vamos mostrar que dado qualquer \varepsilon>0 existe um N tal que, para todo n\ge N, vale
\bigl|a_n - 0\bigr| < \varepsilon.

Passo 2

Primeiro note que, para todo n\ge1, temos
8n^3 - 7 \;\ge\; 8n^3 - 7n^3 \;=\; n^3.
Logo,
\bigl|a_n - 0\bigr| = \frac{1}{8n^3 - 7} \le \frac{1}{n^3}.

Passo 3

Queremos agora garantir \tfrac{1}{n^3}<\varepsilon. Isso é equivalente a
n^3 > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > \varepsilon^{-1/3}.
Basta, portanto, escolher
N = \bigl\lceil \varepsilon^{-1/3}\bigr\rceil.
Então, para todo n\ge N, temos n\ge \varepsilon^{-1/3}, de modo que
n^3 \ge \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^3} \le \varepsilon.
Pelo passo 2 segue
\bigl|a_n - 0\bigr| \le \frac{1}{n^3} \le \varepsilon.

Resposta

Concluímos que, para todo \varepsilon>0 existe N=\lceil\varepsilon^{-1/3}\rceil tal que n\ge N implica \bigl|a_n-0\bigr|<\varepsilon. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{8n^3-7}=0.

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