Calcular a derivada de: f(x)=(x^2+5 x+2)^7 cdot(x-x^2)

Passo 1

A questão pede a derivada de uma função f(x) que é produto de duas funções: (x²+5x+2)⁷ e (x−x²). O conteúdo principal aqui é a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar (x²+5x+2)⁷.

Passo 2

Vamos chamar u(x) = (x²+5x+2)⁷ e v(x) = x−x². A regra do produto diz que f′(x) = u′(x)·v(x) + u(x)·v′(x).

Passo 3

Primeiro, derivamos v(x) = x−x². Como a derivada de x é 1 e de x² é 2x, temos v′(x) = 1 − 2x.

Passo 4

Agora, derivamos u(x) = (x²+5x+2)⁷ usando a regra da cadeia. Seja h(x) = x²+5x+2 e g(t) = t⁷. Então u(x) = g(h(x)) e u′(x) = g′(h(x))·h′(x) = 7·(h(x))⁶·(2x+5). Ou seja,
u'(x) = 7,(x^2+5x+2)^6,(2x+5)

Passo 5

Substituindo na regra do produto temos
f'(x) = 7,(x^2+5x+2)^6,(2x+5),(x - x^2) + (x^2+5x+2)^7,(1 - 2x)

Passo 6

Para simplificar, nota que ambas parcelas têm o fator comum (x²+5x+2)⁶. Fatorando,
f'(x) = (x^2+5x+2)^6l[7(2x+5)(x - x^2) + (x^2+5x+2)(1 - 2x)r]

Resposta

f'(x) = (x^2+5x+2)^6l[7(2x+5)(x - x^2) + (x^2+5x+2)(1 - 2x)r]

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