Calcular a derivada de:
Passo 1
A questão pede a derivada de uma função f(x) que é produto de duas funções: (x²+5x+2)⁷ e (x−x²). O conteúdo principal aqui é a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar (x²+5x+2)⁷.
Passo 2
Vamos chamar u(x) = (x²+5x+2)⁷ e v(x) = x−x². A regra do produto diz que f′(x) = u′(x)·v(x) + u(x)·v′(x).
Passo 3
Primeiro, derivamos v(x) = x−x². Como a derivada de x é 1 e de x² é 2x, temos v′(x) = 1 − 2x.
Passo 4
Agora, derivamos u(x) = (x²+5x+2)⁷ usando a regra da cadeia. Seja h(x) = x²+5x+2 e g(t) = t⁷. Então u(x) = g(h(x)) e u′(x) = g′(h(x))·h′(x) = 7·(h(x))⁶·(2x+5). Ou seja,
Passo 5
Substituindo na regra do produto temos
Passo 6
Para simplificar, nota que ambas parcelas têm o fator comum (x²+5x+2)⁶. Fatorando,