Calcular a derivada de: f(x)=(8 x^2-6 x+11x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função composta: f(x)=l(tfrac8x^2-6x+11x-1r)^2. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia e, internamente, a regra do quociente.

Passo 2

Como f(x)=(g(x))^2, pela regra da cadeia temos f'(x)=2,g(x),g'(x). Agora precisamos encontrar g'(x), onde g(x)=tfrac8x^2-6x+11x-1

Passo 3

Para derivar g(x) usamos a regra do quociente: se g(x)=tfracu(x)v(x), então g'(x)=tfracu'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 Aqui definimos
u(x)=8x^2-6x+11 \quad e \quad v(x)=x-1.

Passo 4

Derivando as partes:
u'(x)=16x-6 e v'(x)=1. Aplicando a fórmula do quociente:
g'(x)=(16x-6)(x-1)-(8x^2-6x+11)cdot1(x-1)^2
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(16x-6)(x-1)=16x^2-22x+6,
então
g'(x)=16x^2-22x+6-(8x^2-6x+11)(x-1)^2=8x^2-16x-5(x-1)^2

Passo 5

Por fim, voltamos a f'(x)=2,g(x),g'(x). Substituindo g(x)=tfrac8x^2-6x+11x-1 e g'(x)=tfrac8x^2-16x-5(x-1)^2 obtemos:
f'(x)=2cdot8x^2-6x+11x-1cdot8x^2-16x-5(x-1)^2 = 2(8x^2-6x+11)(8x^2-16x-5)(x-1)^3

Resposta

f'(x)=2,(8x^2-6x+11),(8x^2-16x-5)(x-1)^3

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