Calcular a derivada da função.
Passo 1
A questão quer a derivada de uma função racional, então o conteúdo aqui é derivada de quociente. Vamos usar a regra do quociente, que diz que, para
a função
a derivada é
Passo 2
Identificamos as partes:
u(z)=2z+1 e v(z)=z,(z2+1)=z3+z. Precisamos de u’(z) e v’(z).
Passo 3
Derivando:
u’(z)=2
v(z)=z^3+z
v’(z)=3z^2+1
Explicando: derivada de z^3 é 3z^2 e de z é 1.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Agora só falta simplificar o numerador.
Passo 5
Simplificando o numerador:
2(z3+z)=2z3+2z
(2z+1)(3z2+1)=6z3+2z+3z^2+1
Subtraindo: 2z^3+2z - (6z3+3z2+2z+1) = -4z^3 -3z^2 -1.
Passo 6
Também simplificamos o denominador: (z3+z)2 = [z(z2+1)]2 = z2,(z2+1)^2.
Assim chegamos à forma final da derivada.
Passo 7
Colocando tudo junto, obtemos:
Resposta
f’(z) = -\frac{4z^3 + 3z^2 + 1}{z2,(z2+1)^2}