Calcular a derivada da função.

Passo 1

A questão quer a derivada de uma função racional, então o conteúdo aqui é derivada de quociente. Vamos usar a regra do quociente, que diz que, para
a função
f(z)=u(z)v(z),
a derivada é
f'(z)=u'(z),v(z)-u(z),v'(z)[v(z)]^2

Passo 2

Identificamos as partes:
u(z)=2z+1 e v(z)=z,(z2+1)=z3+z. Precisamos de u’(z) e v’(z).

Passo 3

Derivando:
u’(z)=2
v(z)=z^3+z
v’(z)=3z^2+1
Explicando: derivada de z^3 é 3z^2 e de z é 1.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(z)=2,(z^3+z)-(2z+1),(3z^2+1)(z^3+z)^2
Agora só falta simplificar o numerador.

Passo 5

Simplificando o numerador:
2(z3+z)=2z3+2z
(2z+1)(3z2+1)=6z3+2z+3z^2+1
Subtraindo: 2z^3+2z - (6z3+3z2+2z+1) = -4z^3 -3z^2 -1.

Passo 6

Também simplificamos o denominador: (z3+z)2 = [z(z2+1)]2 = z2,(z2+1)^2.
Assim chegamos à forma final da derivada.

Passo 7

Colocando tudo junto, obtemos:
f'(z)=-4z^3+3z^2+1z^2,(z^2+1)^2

Resposta

f’(z) = -\frac{4z^3 + 3z^2 + 1}{z2,(z2+1)^2}

Exercícios relacionados