Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são equivalentes a cada uma das formas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as equações de Cauchy–Riemann
e
para a função
são equivalentes às formas
e
. Vamos usar decomposição em parte real e imaginária e identificar termos.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as derivadas parciais de
em termos das derivadas de
e
:
Passo 3
Assumindo as equações de Cauchy–Riemann
e
, calculamos
Passo 4
De forma análoga, ainda usando
e
, temos
Passo 5
Para a recíproca, partimos de
e expandimos:
Igualando parte real a parte real e parte imaginária a parte imaginária surge
e
, que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 6
Portanto, mostramos que as equações de Cauchy–Riemann são equivalentes a cada uma das formas propostas.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são equivalentes às relações
e
.
e