Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são equivalentes a cada uma das formas seguintes:
partial fpartial x=-imath partial fpartial y e partial fpartial y=imath partial fpartial x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as equações de Cauchy–Riemann
ux=vy e uy=-vx para a função f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) são equivalentes às formas
partial f/partial x=-i,partial f/partial y e partial f/partial y=i,partial f/partial x. Vamos usar decomposição em parte real e imaginária e identificar termos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as derivadas parciais de f em termos das derivadas de u e v:
partial fpartial x=ux+i,vx,
partial fpartial y=uy+i,vy

Passo 3

Assumindo as equações de Cauchy–Riemann ux=vy e uy=-vx, calculamos
-ipartial fpartial y=-i(uy+i,vy)=-i,uy+vy=-i(-vx)+ux=i,vx+ux=ux+i,vx=partial fpartial x

Passo 4

De forma análoga, ainda usando ux=vy e uy=-vx, temos
ipartial fpartial x=i(ux+i,vx)=i,ux-vx=i,vy-vx=uy+i,vy=partial fpartial y

Passo 5

Para a recíproca, partimos de
partial fpartial x=-ipartial fpartial y
e expandimos:
ux+i,vx=-i(uy+i,vy)=-i,uy+vy
Igualando parte real a parte real e parte imaginária a parte imaginária surge
ux=vy e vx=-uy, que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 6

Portanto, mostramos que as equações de Cauchy–Riemann são equivalentes a cada uma das formas propostas.

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann são equivalentes às relações
partial fpartial x=-imath,partial fpartial y
e
partial fpartial y=imath,partial fpartial x.

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