Calcular a derivada da função até a segunda ordem.
Dicas:
- verificar as propriedades a serem utilizadas;
- aplicar regras de derivação envolvidas;
- calcular as derivadas sucessivas;
- anotar todos os conceitos teóricos envolvidos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de f(x)=\sqrt[3]{729 x^{2}}+7 \ln\bigl(\frac{x}{\sqrt{x}}\bigr). O conteúdo envolve propriedades de radiciação, logaritmos e regras de derivação (regra do poder e derivada de logaritmo).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar f(x) usando propriedades de expoentes e logaritmos. Note que \sqrt[3]{729 x^{2}}=(729 x{2}){1/3}=729{1/3},(x{2}){1/3}=9,x{2/3} e
\ln\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x}}\Bigr)=\ln\bigl(x\cdot x{-1/2}\bigr)=\ln\bigl(x{1/2}\bigr)=\tfrac12\ln x.
Portanto,
\ln\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x}}\Bigr)=\ln\bigl(x\cdot x{-1/2}\bigr)=\ln\bigl(x{1/2}\bigr)=\tfrac12\ln x.
Portanto,
Passo 3
Agora calculamos a primeira derivada termo a termo usando a regra do poder (\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}) e a derivada de ln x (\frac{d}{dx}\ln x=1/x). Assim,
Passo 4
Em seguida, aplicamos novamente a regra do poder e a derivada de x^{-1}:
Resposta
f’(x)=6,x^{-1/3}+\frac{7}{2x}, f’’(x)=-2,x{-4/3}-\frac{7}{2}x{-2}