Calcular a derivada da função até a segunda ordem.
f(x)=raiz[3]729 x^2+7 ln (xraizx)
checkmark Dicas:
  • verificar as propriedades a serem utilizadas;
  • aplicar regras de derivação envolvidas;
  • calcular as derivadas sucessivas;
  • anotar todos os conceitos teóricos envolvidos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de f(x)=\sqrt[3]{729 x^{2}}+7 \ln\bigl(\frac{x}{\sqrt{x}}\bigr). O conteúdo envolve propriedades de radiciação, logaritmos e regras de derivação (regra do poder e derivada de logaritmo).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar f(x) usando propriedades de expoentes e logaritmos. Note que \sqrt[3]{729 x^{2}}=(729 x{2}){1/3}=729{1/3},(x{2}){1/3}=9,x{2/3} e
\ln\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x}}\Bigr)=\ln\bigl(x\cdot x{-1/2}\bigr)=\ln\bigl(x{1/2}\bigr)=\tfrac12\ln x.
Portanto,
f(x)=9,x^2/3+7cdottfrac12ln x=9,x^2/3+72ln x

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada termo a termo usando a regra do poder (\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}) e a derivada de ln x (\frac{d}{dx}\ln x=1/x). Assim,
f'(x)=9cdottfrac23,x^2/3-1+72cdot1x=6,x^-1/3+72x

Passo 4

Em seguida, aplicamos novamente a regra do poder e a derivada de x^{-1}:
f''(x)=6cdot(-tfrac13),x^-1/3-1+72cdot(-1)x^-2=-2,x^-4/3-72x^-2

Resposta

f’(x)=6,x^{-1/3}+\frac{7}{2x}, f’’(x)=-2,x{-4/3}-\frac{7}{2}x{-2}

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