S-4.2 Mostre que, para todo
,
24 divide
.
24 divide
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o número
é divisível por
. O conteúdo aqui é aritmética modular: vamos calcular potências de
e
módulo
e usar essa informação para verificar a divisibilidade.
Passo 2
Calculemos as potências de terceiro grau módulo
. Primeiro:
pois
é múltiplo de
. Analogamente,
Passo 3
Das congruências acima segue que, para todo
,
E também
Passo 4
Separando os casos de
par e
ímpar:
-
Se
é par, então e módulo . Logo, -
Se
é ímpar, então e módulo . Logo,
Em ambos os casos a expressão é congruente a
módulo
.
Resposta
Para todo
,
divide
.