S-4.2 Mostre que, para todo n in N,
24 divide 2 times 7^n+3 times 5^n-5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, o número
2cdot 7^n + 3cdot 5^n - 5
é divisível por 24. O conteúdo aqui é aritmética modular: vamos calcular potências de 7 e 5 módulo 24 e usar essa informação para verificar a divisibilidade.

Passo 2

Calculemos as potências de terceiro grau módulo 24. Primeiro:
7^2 = 49 equiv 1 pmod24,
pois 49 - 1 = 48 é múltiplo de 24. Analogamente,
5^2 = 25 equiv 1 pmod24

Passo 3

Das congruências acima segue que, para todo kinN,
7^2k equiv (7^2)^k equiv 1^k equiv 1 pmod24, 5^2k equiv (5^2)^k equiv 1^k equiv 1 pmod24
E também
7^2k+1 equiv 7cdot7^2k equiv 7cdot1 equiv 7 pmod24, 5^2k+1 equiv 5cdot5^2k equiv 5cdot1 equiv 5 pmod24

Passo 4

Separando os casos de n par e n ímpar:
  • Se n=2k é par, então 7^nequiv1 e 5^nequiv1 módulo 24. Logo,
    2cdot7^n + 3cdot5^n - 5 equiv 2cdot1 + 3cdot1 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0 pmod24
  • Se n=2k+1 é ímpar, então 7^nequiv7 e 5^nequiv5 módulo 24. Logo,
    2cdot7^n + 3cdot5^n - 5 equiv 2cdot7 + 3cdot5 - 5 = 14 + 15 - 5 = 24 equiv 0 pmod24
Em ambos os casos a expressão é congruente a 0 módulo 24.

Resposta

Para todo ninN, 24 divide 2cdot7^n + 3cdot5^n - 5.

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