A função f(t)=e^t^2 tem transformada de Laplace? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem uma função f(t) = e^t^2 e a pergunta é: essa função tem Transformada de Laplace? Vamos resolver isso juntos! Para isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como verificar se ela existe para uma função qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma funções do tempo t para o domínio da frequência s . A fórmula básica da Transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Então, para saber se f(t) = e^t^2 tem Transformada de Laplace, precisamos ver se essa integral converge, ou seja, se dá um número finito.

Passo 3

Vamos montar a integral com a nossa função:
Le^t^2 = integral0^infty e^-s t e^t^2 , dt = integral0^infty e^t^2 - s t , dt
Agora, precisamos analisar o comportamento do integrando e^t^2 - s t para t indo para infinito.

Passo 4

Observando o expoente t^2 - s t , para valores grandes de t , o termo t^2 domina sobre -s t . Isso significa que, conforme t aumenta, t^2 - s t cresce sem limites, fazendo com que e^t^2 - s t também cresça muito rapidamente.

Passo 5

Para a integral integral0^infty e^t^2 - s t , dt convergir, o integrando deve tender a zero quando t vai para infinito. Mas, como vimos, e^t^2 - s t tende ao infinito. Logo, a integral não converge.

Resposta

Não, a função f(t) = e^t^2 não possui Transformada de Laplace, porque a integral que define a Transformada de Laplace diverge.

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