Calcular a derivada da função vetorial: f(t)=e^-t cdot imath+e^-2 t cdot jmath+k

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a derivada de uma função vetorial dada por f(t) = e^-t cdot imath + e^-2t cdot jmath + k. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas de funções vetoriais, que envolve derivar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada componente da função vetorial f(t). Ela está composta por três vetores unitários: imath, jmath e k, com os seguintes coeficientes:
  • A componente no imath é e^-t.
  • A componente no jmath é e^-2t.
  • A componente no k é constante, ou seja, k.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente em relação a t:
  1. Para a componente e^-t cdot imath, usamos a regra da derivada de uma função exponencial:
ddt(e^-t) = -e^-t
Portanto, a derivada dessa componente é -e^-t cdot imath.
  1. Para a componente e^-2t cdot jmath, novamente aplicamos a derivada da função exponencial, lembrando de multiplicar pelo coeficiente da variável dentro do expoente:
ddt(e^-2t) = -2e^-2t
Assim, a derivada dessa componente é -2e^-2t cdot jmath.
  1. Para a componente constante k, a derivada de uma constante é zero:
ddt(k) = 0
Portanto, a derivada dessa componente é 0.

Resposta

A derivada da função vetorial é:
f,'(t) = -e^-t cdot imath - 2e^-2t cdot jmath

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