Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série sum an só pode convergir se lim n infty an=0.)
sumn=1^infty sin (n)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty sin(n)
é divergente. O conteúdo principal aqui é o teste da divergência, que diz que uma série sum an só pode convergir se
limntoinftyan=0
Vamos aplicar esse critério a an=sin(n).

Passo 2

Lembrando o teste da divergência (ou teste do termo geral):
Se sum an converge, então
limntoinftyan=0
Ou seja, se limntoinftyanneq0 ou não existir, a série diverge.

Passo 3

Mostramos que limntoinftysin(n) não existe (e em particular não é zero). Suponha, por absurdo, que exista
limntoinftysin(n)=L
Então a sequência l(sin(n)r) seria de Cauchy, logo teríamos
limntoinftyl[sin(n+1)-sin(n)r]=0
Mas pela identidade de soma de senos
sin(n+1)-sin(n) =2,sin!l(tfrac(n+1)-n2r), cos!l(tfrac(n+1)+n2r) =2,sin!l(tfrac12r),cos!l(n+tfrac12r)
Como sin!l(tfrac12r)neq0 e cos(n+tfrac12) oscila entre -1 e 1 sem convergir, o produto
2,sin!l(tfrac12r),cos!l(n+tfrac12r)
também não tende a zero. Contradição. Portanto limntoinftysin(n) não existe.

Passo 4

Como limntoinftysin(n) não existe (logo não é zero), a condição necessária para convergência da série falha. Pelo teste da divergência, concluímos que
sumn=1^inftysin(n)
é divergente.

Resposta

A série sumn=1^inftysin(n) diverge porque limntoinftysin(n) não existe (portanto não é zero), violando o teste da divergência.

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