Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série
só pode convergir se
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é divergente. O conteúdo principal aqui é o teste da divergência, que diz que uma série
só pode convergir se
Vamos aplicar esse critério a
.
Passo 2
Lembrando o teste da divergência (ou teste do termo geral):
Se converge, então
Se
Ou seja, se
ou não existir, a série diverge.
Passo 3
Mostramos que
não existe (e em particular não é zero). Suponha, por absurdo, que exista
Então a sequência
seria de Cauchy, logo teríamos
Mas pela identidade de soma de senos
Como
e
oscila entre
e
sem convergir, o produto
também não tende a zero. Contradição. Portanto
não existe.
Passo 4
Como
não existe (logo não é zero), a condição necessária para convergência da série falha. Pelo teste da divergência, concluímos que
é divergente.
Resposta
A série
diverge porque
não existe (portanto não é zero), violando o teste da divergência.