Encontre o polinômio de Taylor T3(x), do grau 3, para a função f(x)=1x, centrada no número a=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função f(x) = 1x , centrado no ponto a = 2 . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar essas derivadas no ponto 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 para uma função f(x) centrada em a :
T3(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3
Ou seja, precisamos de f(a) , f'(a) , f''(a) e f'''(a) .

Passo 3

Vamos começar calculando f(a) . Nossa função é f(x) = 1x , então:
f(2) = 12

Passo 4

Agora, vamos achar a primeira derivada de f(x) . A derivada de 1x é:
f'(x) = -1x^2
Então, avaliando no ponto 2:
f'(2) = -1(2)^2 = -14

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada. A derivada de f'(x) = -1x^2 é:
f''(x) = 2x^3
Avaliando em 2:
f''(2) = 2(2)^3 = 28 = 14

Passo 6

Vamos calcular a terceira derivada. Derivando f''(x) = 2x^3 :
f'''(x) = -6x^4
E avaliando em 2:
f'''(2) = -6(2)^4 = -616 = -38

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 2, vamos montar o polinômio de Taylor:
T3(x) = 12 + (-14)(x - 2) + 142(x - 2)^2 + -386(x - 2)^3
Simplificando os coeficientes:
T3(x) = 12 - 14(x - 2) + 18(x - 2)^2 - 116(x - 2)^3

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para f(x) = 1x centrado em a = 2 é:
T3(x) = 12 - 14(x - 2) + 18(x - 2)^2 - 116(x - 2)^3

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