Encontre o polinômio de Taylor
, do grau 3, para a função
, centrada no número
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função
, centrado no ponto
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar essas derivadas no ponto 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 para uma função
centrada em
:
Ou seja, precisamos de
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Nossa função é
, então:
Passo 4
Agora, vamos achar a primeira derivada de
. A derivada de
é:
Então, avaliando no ponto 2:
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada. A derivada de
é:
Avaliando em 2:
Passo 6
Vamos calcular a terceira derivada. Derivando
:
E avaliando em 2:
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 2, vamos montar o polinômio de Taylor:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 para
centrado em
é: