Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=y^2

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = y^2
usando o método de separação de variáveis. Esse método consiste em escrever todos os termos que envolvem y de um lado da igualdade e todos os termos que envolvem x do outro, para então integrar cada lado.

Passo 2

A partir de
dydx = y^2
separamos as variáveis, dividindo ambos os lados por y^2 e multiplicando por dx:
1y^2,dy = dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral 1y^2,dy = integral dx
A integral do lado esquerdo é
integral y^-2,dy = -,y^-1 = -1y,
e a do lado direito é
integral dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Portanto obtemos
-1y = x + C

Passo 4

Isolando y, multiplicamos por -1 e depois invertendo:
1y = -,x - C Longrightarrow y = -1x + C
Podemos renomear a constante, por exemplo C1 = -C, obtendo a forma mais comum
y(x) = 1C1 - x
Não esqueça também da solução trivial y(x)equiv 0, que satisfaz dydx=0=y^2.

Resposta

A solução geral é
y(x) = 1C - x,
com C arbitrária, junto da solução trivial
y(x)equiv 0

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