Calcular a derivada das funções:
4.5 y=\frac{x^{2}}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função dada. A informação fornecida é:
y=\frac{x^{2}}{x+4}
Observações importantes que vêm do enunciado:
  • O numerador é \,x^{2}\,.
  • O denominador é \,x+4\,.
  • A função está definida para x\neq -4 (pois dividir por zero não vale).
    A pergunta é: encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx} para essa função.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): eu vou mostrar duas abordagens para aprender bem — primeiro uma maneira algébrica que deixa a derivada bem simples (divisão polinomial e derivação termo a termo), e em seguida a fórmula clássica (regra do quociente) para você ver que ambas dão o mesmo resultado. A divisão polinomial costuma ser mais rápida na prova porque transforma a função em soma de termos fáceis de derivar.

Passo 3

Fazer a divisão polinomial de \,x^{2} por \,x+4. Vou dividir passo a passo:
  • Dividendo: \,x^{2}\,. Divisor: \,x+4.
  • O primeiro termo do quociente é x, porque x\cdot(x+4)=x^{2}+4x.
  • Subtraindo: x^{2}-(x^{2}+4x) = -4x.
  • Próximo termo do quociente é -4, porque -4\cdot(x+4)=-4x-16.
  • Subtraindo: -4x-(-4x-16)=16. Esse é o resto.
    Portanto a divisão dá:
\frac{x^{2}}{x+4} = x-4+\frac{16}{x+4}.

Passo 4

Reescrever a função usando o resultado da divisão:
y = x - 4 + \frac{16}{x+4}.
Isso é bom porque agora temos uma soma de termos simples: x, a constante -4 e uma função do tipo constante sobre (x+4).

Passo 5

Relembrando regras de derivação que vamos usar (com explicações):
  • Derivada da soma: se f(x)=u(x)+v(x) então f'(x)=u'(x)+v'(x). Ou seja, derivada se distribui sobre soma.
  • Derivada de constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}c=0.
  • Derivada de x: \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Regra da potência (aplicada por cadeia): se u(x) é função e n é número então \dfrac{d}{dx}[u(x)]^{n}=n\,[u(x)]^{n-1}\cdot u'(x). No caso de u(x)=(x+4) e n=-1 (porque \dfrac{1}{x+4}=(x+4)^{-1}), usamos essa regra com u'(x)=1.

Passo 6

Derivar termo a termo a função reescrita:
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • \dfrac{d}{dx}(-4)=0.
  • Para o termo \dfrac{16}{x+4}=16\,(x+4)^{-1}, aplicando regra da potência (com n=-1 e u(x)=x+4, u'(x)=1):
\frac{d}{dx}\left[16\,(x+4)^{-1}\right]=16\cdot(-1)\,(x+4)^{-2}\cdot 1 = -\frac{16}{(x+4)^{2}}.
Somando as derivadas:
\frac{dy}{dx}=1- \frac{16}{(x+4)^{2}}.

Passo 7

Verificação pela regra do quociente (alternativa): seja u(x)=x^{2} e v(x)=x+4. A regra do quociente diz
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Calcule u'=2x e v'=1. Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{(2x)(x+4)-x^{2}\cdot 1}{(x+4)^{2}}=\frac{2x^{2}+8x-x^{2}}{(x+4)^{2}}=\frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}.
Agora veja que essa forma é equivalente à anterior: fazer denominação comum em 1-\dfrac{16}{(x+4)^{2}}
1-\frac{16}{(x+4)^{2}}=\frac{(x+4)^{2}-16}{(x+4)^{2}}=\frac{x^{2}+8x+16-16}{(x+4)^{2}}=\frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}.
Portanto as duas abordagens coincidem. Ambas estão corretas.

Passo 8

Resumo (como fazer rápido na prova):
  • Se conseguir, faça a divisão polinomial primeiro para obter termos fáceis.
  • Derive termo a termo: \dfrac{d}{dx}(x)=1, constantes viram zero, e use a regra da potência para termos tipo (x+4)^{-1}.
  • Se preferir, aplique diretamente a regra do quociente com u=x^{2} e v=x+4.

Resposta

\frac{dy}{dx}=1-\frac{16}{(x+4)^{2}}=\frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}=\frac{x(x+8)}{(x+4)^{2}}.

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