Calcular a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função dada. A informação fornecida é:
Observações importantes que vêm do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A função está definida para
(pois dividir por zero não vale).
A pergunta é: encontrarpara essa função.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): eu vou mostrar duas abordagens para aprender bem — primeiro uma maneira algébrica que deixa a derivada bem simples (divisão polinomial e derivação termo a termo), e em seguida a fórmula clássica (regra do quociente) para você ver que ambas dão o mesmo resultado. A divisão polinomial costuma ser mais rápida na prova porque transforma a função em soma de termos fáceis de derivar.
Passo 3
Fazer a divisão polinomial de
por
. Vou dividir passo a passo:
- Dividendo:
. Divisor: . - O primeiro termo do quociente é
, porque . - Subtraindo:
. - Próximo termo do quociente é
, porque . - Subtraindo:
. Esse é o resto.
Portanto a divisão dá:
Passo 4
Reescrever a função usando o resultado da divisão:
Isso é bom porque agora temos uma soma de termos simples:
, a constante
e uma função do tipo constante sobre
.
Passo 5
Relembrando regras de derivação que vamos usar (com explicações):
- Derivada da soma: se
então . Ou seja, derivada se distribui sobre soma. - Derivada de constante: se
é constante então . - Derivada de
: . - Regra da potência (aplicada por cadeia): se
é função e é número então . No caso de e (porque ), usamos essa regra com .
Passo 6
Derivar termo a termo a função reescrita:
-
. -
. - Para o termo
, aplicando regra da potência (com e , ):
Somando as derivadas:
Passo 7
Verificação pela regra do quociente (alternativa): seja
e
. A regra do quociente diz
Calcule
e
. Substituindo:
Agora veja que essa forma é equivalente à anterior: fazer denominação comum em
Portanto as duas abordagens coincidem. Ambas estão corretas.
Passo 8
Resumo (como fazer rápido na prova):
- Se conseguir, faça a divisão polinomial primeiro para obter termos fáceis.
- Derive termo a termo:
, constantes viram zero, e use a regra da potência para termos tipo . - Se preferir, aplique diretamente a regra do quociente com
e .