Calcular a derivada das funções:
4.9 y=(2 x+4) \cdot \ln (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = (2x+4)\cdot \ln(3x).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é y(x)=(2x+4)\ln(3x).
  • Para que \ln(3x) esteja definida precisamos de 3x>0, portanto o domínio onde a expressão faz sentido é x>0.
  • O objetivo é obter \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Regra que vamos usar: produto de funções. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por
(uv)' = u'v + uv'.
Explicando: u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}. Ou seja, derivamos uma fator por vez e multiplicamos pelo outro, somando os resultados.

Passo 3

Identificar os fatores do produto na nossa função. Seja
u(x) = 2x+4\quad\text{e}\quad v(x)=\ln(3x).
Agora calculamos u'(x). Como u(x) é uma função linear,
u'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x+4)=2.
Comentário didático: a derivada de ax+b é sempre a. Aqui a=2.

Passo 4

Calcular v'(x), a derivada de v(x)=\ln(3x). Usamos a regra da cadeia: se v(x)=\ln(w(x)), então
v'(x)=\dfrac{1}{w(x)}\cdot w'(x).
No nosso caso w(x)=3x, então w'(x)=3. Portanto
v'(x)=\dfrac{1}{3x}\cdot 3 = \dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}.
Observação alternativa (útil na prova): \ln(3x)=\ln 3 + \ln x. A derivada de \ln 3 é 0 (constante) e a derivada de \ln x é 1/x, então também obtemos v'(x)=1/x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com os resultados obtidos:
\dfrac{dy}{dx} = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=2, v(x)=\ln(3x), u(x)=2x+4 e v'(x)=1/x, vem
\dfrac{dy}{dx} = 2\ln(3x) + (2x+4)\cdot \dfrac{1}{x}.

Passo 6

Fazer a simplificação final da expressão:
(2x+4)\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x+4}{x}=\dfrac{2x}{x}+\dfrac{4}{x}=2+\dfrac{4}{x}.
Então uma forma simplificada da derivada é
\dfrac{dy}{dx} = 2\ln(3x) + 2 + \dfrac{4}{x}.
Você também pode rearranjar como quiser, por exemplo \dfrac{dy}{dx}=2\big(\ln(3x)+1\big)+\dfrac{4}{x}. Lembre-se que essa expressão vale para x>0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2\ln(3x)+2+\dfrac{4}{x}

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