Calcular a derivada das funções abaixo empregando as regras de derivação.
f(x)=\frac{2}{3}(5 x-3)^{-1}(5 x+3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2}{3}(5x-3)^{-1}(5x+3)
e pede f'(x). Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, pois temos um produto de duas funções de x.

Passo 2

Definimos
u(x)=5x+3 \quad\text{e}\quad v(x)=(5x-3)^{-1}.
Como f(x)=\tfrac{2}{3}\,u(x)\,v(x), pela regra do produto temos
f'(x)=\frac{2}{3}\bigl(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
u’(x) é a derivada de 5x+3, logo
u'(x)=5.
Para v(x)=(5x-3)^{-1} aplicamos a regra da cadeia:
v'(x)=-1\,(5x-3)^{-2}\cdot(5x-3)'=-1\,(5x-3)^{-2}\cdot5=-5\,(5x-3)^{-2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{2}{3}\Bigl[5\,(5x-3)^{-1}+(5x+3)\bigl(-5\,(5x-3)^{-2}\bigr)\Bigr] =\frac{2}{3}\Bigl[5\,(5x-3)^{-1}-5(5x+3)(5x-3)^{-2}\Bigr].
Fatorando 5\,(5x-3)^{-2}:
f'(x) =\frac{2}{3}\,5\,(5x-3)^{-2}\Bigl[(5x-3)-(5x+3)\Bigr] =\frac{2\cdot5}{3}(5x-3)^{-2}\bigl(5x-3-5x-3\bigr) =\frac{10}{3}(5x-3)^{-2}(-6).
Portanto
f'(x)=-\frac{60}{3}(5x-3)^{-2}=-20\,(5x-3)^{-2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{20}{(5x-3)^{2}}.

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