Calcular a derivada das funções abaixo empregando as regras de derivação.
f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}}\$)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{4 - x}{5 - x^{2}}
O conteúdo principal é a regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis,
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\implies f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=4 - x,\quad v(x)=5 - x^{2}.
Logo
u'(x)=-1,\quad v'(x)=-2x.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(-1)(5 - x^{2}) - (4 - x)(-2x)}{(5 - x^{2})^{2}}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador. Primeiro expandimos cada termo:
(-1)(5 - x^{2}) = -5 + x^{2},
(4 - x)(-2x) = -8x + 2x^{2}.
Subtraindo segundo termo no numerador:
-5 + x^{2} -(-8x + 2x^{2}) = -5 + x^{2} + 8x - 2x^{2} = -x^{2} + 8x - 5.

Passo 4

Reescrevendo a derivada com o numerador simplificado:
f'(x)=\frac{-x^{2} + 8x - 5}{(5 - x^{2})^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{-x^{2} + 8x - 5}{(5 - x^{2})^{2}}.

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