Calcular a derivada das funções abaixo empregando as regras de derivação.
f(x)=\left(3 x^{5}-1\right)\left(2-x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(3x^{5}-1\bigr)\bigl(2 - x^{4}\bigr).
O conteúdo aqui é a regra do produto de derivadas, junto com as regras de derivação de potências e constantes.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
u(x)=3x^{5}-1,\quad v(x)=2 - x^{4}.
Pela regra do produto, temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{5}-1\bigr)=15x^{4},
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2 - x^{4}\bigr)=-4x^{3}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), obtemos
f'(x)=15x^{4}\bigl(2 - x^{4}\bigr)+(3x^{5}-1)\bigl(-4x^{3}\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos passo a passo:
15x^{4}\cdot2=30x^{4},\quad 15x^{4}\cdot(-x^{4})=-15x^{8},
(3x^{5}-1)\cdot(-4x^{3})=-12x^{8}+4x^{3}.
Somando tudo:
f'(x)=30x^{4}-15x^{8}-12x^{8}+4x^{3} =4x^{3}+30x^{4}-27x^{8}.
Podemos ainda fatorar x^{3}:
f'(x)=x^{3}\bigl(-27x^{5}+30x+4\bigr).

Resposta

f'(x)=x^{3}\bigl(-27x^{5}+30x+4\bigr).

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