Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(x)=a \sqrt{\cos b x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=a\sqrt{\cos(bx)}
usando a Regra da Cadeia. Aqui a e b são constantes. Vamos ver f como uma composição de funções: primeiro u(x)=\cos(bx), depois v(u)=\sqrt{u} e, finalmente, multiplicamos por a.

Passo 2

Definimos
u(x)=\cos(bx), \quad v(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, \quad f(x)=a\,v\bigl(u(x)\bigr).
Assim, pela Regra da Cadeia,
f'(x)=a\;v'\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Para v(u)=u^{1/2},
v'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Para u(x)=\cos(bx),
u'(x)=-\sin(bx)\cdot b=-b\,\sin(bx).

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=a\;v'\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)
temos
f'(x) = a\cdot\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot\bigl(-b\,\sin(bx)\bigr) = -\frac{a\,b\,\sin(bx)}{2\sqrt{\cos(bx)}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{a\,b\,\sin(bx)}{2\sqrt{\cos(bx)}}.

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