Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta
f(x)=\ln\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
O conteúdo é a Regra da Cadeia: se f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr), então
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Aqui vamos identificar a parte interna g(x) e depois aplicar essa fórmula.

Passo 2

Definimos
g(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Calculamos g'(x) usando derivada de potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-x^{-2},% \quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2x^{-3}.
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g'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}.

Passo 3

Pela Regra da Cadeia,
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} =\frac{-\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{3}}\bigr)}{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}}.
Para simplificar, note que
-\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}+\tfrac{2}{x^{3}}\Bigr) =-\frac{x+2}{x^{3}}, \qquad \frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}.
Assim
f'(x) =\frac{-\frac{x+2}{x^{3}}}{\frac{x+1}{x^{2}}} =-\frac{x+2}{x^{3}}\cdot\frac{x^{2}}{x+1} =-\frac{x+2}{x(x+1)}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x+2}{x(x+1)}.

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