Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(x)=\operatorname{sen}^{3}\left(3 x^{2}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função composta
f(x)=\sin^{3}\bigl(3x^{2}+6x\bigr)
e pede f'(x) usando a Regra da Cadeia. Vamos identificar as três camadas de composição e aplicar a derivação passo a passo.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias:
u(x)=3x^{2}+6x,
v(u)=\sin(u),
w(v)=v^{3}.
Assim f(x)=w\bigl(v(u(x))\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada camada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+6x\bigr)=6x+6,
v'(u)=\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u),
w'(v)=\frac{d}{dv}v^{3}=3v^{2}.

Passo 4

Pela Regra da Cadeia em três níveis,
f'(x)=w'\bigl(v(u(x))\bigr)\,\cdot\,v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).
Substituindo cada termo:
w'\bigl(v(u(x))\bigr)=3\bigl(\sin(u(x))\bigr)^{2}=3\sin^{2}\bigl(3x^{2}+6x\bigr),
v'\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(3x^{2}+6x\bigr),
u'(x)=6x+6.

Passo 5

Multiplicando tudo, obtemos
f'(x)=3\sin^{2}\bigl(3x^{2}+6x\bigr)\,\cos\bigl(3x^{2}+6x\bigr)\,(6x+6).
Podemos ainda fatorar 6 em 6x+6=6(x+1) e juntar com o 3:

Resposta

f'(x)=18(x+1)\,\sin^{2}\bigl(3x^{2}+6x\bigr)\,\cos\bigl(3x^{2}+6x\bigr).

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