Q 12.0 pontos] (5) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o sólido deli z=0 e pela semiesfera z=\sqrt{4-x{2}-y{2}}.
Fórmulas Úteis
*Coordenadas Esféricas :
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla
onde
é o sólido limitado por
e pela semiesfera
. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas esféricas, pois o domínio é uma semiesfera de raio
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
com
,
,
. Como queremos apenas a parte superior (
), temos
e
.
Passo 3
Na integral a função fica
e o elemento de volume é
Logo a integral vira
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Fica então
Passo 5
Para a integral em
use a substituição
,
. Quando
temos
e quando
temos
. Então
Passo 6
A integral em
é imediata:
Reunindo tudo: