Q 12.0 pontos] (5) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o sólido deli z=0 e pela semiesfera z=\sqrt{4-x{2}-y{2}}.
\iint_{E} \int \frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
Fórmulas Úteis
\begin{aligned} & x=r \cdot \cos (\theta) \\\ & y=r \cdot \operatorname{sen}(\theta) \\\ & x^{2}+y^{2}=r^{2} \\\ & d A=r d r d \theta \end{aligned}
\begin{aligned} & x=r \cdot \cos (\theta) \\\ & y=r \cdot \operatorname{sen}(\theta) \\\ & z=z \\\ & x^{2}+y^{2}=r^{2} \\\ & d V=r d z d r d \theta \end{aligned}
*Coordenadas Esféricas :

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla
\iiint_{E}\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV,
onde E é o sólido limitado por z=0 e pela semiesfera z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas esféricas, pois o domínio é uma semiesfera de raio 2.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi]. Como queremos apenas a parte superior ( z\ge0), temos \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \rho\in[0,2].

Passo 3

Na integral a função fica
\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\frac{(\rho\cos\varphi)^{2}}{\rho^{2}} =\cos^{2}\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo a integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{2} \cos^{2}\varphi\;\rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho =\biggl[\frac{\rho^{3}}{3}\biggr]_{0}^{2} =\frac{8}{3}.
Fica então
\frac{8}{3}\int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Para a integral em \varphi use a substituição u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1 e quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos u=0. Então
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0}u^{2}(-du) =\int_{0}^{1}u^{2}\,du =\Bigl[\frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.

Passo 6

A integral em \theta é imediata:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Reunindo tudo:
\frac{8}{3}\times 2\pi\times \frac{1}{3} =\frac{16\pi}{9}.

Resposta

\frac{16\pi}{9}

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