Questão 5.
(Extra) Calcule a integral
transformando-a para coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
transformando para coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é:
– trocar por
,
– usar ,
,
,
– Jacobiano ,
– achar os limites em .
– trocar
– usar
– Jacobiano
– achar os limites em
Passo 2
Em esféricas
As superfícies do domínio viram:
- cone
dá (porque ), - esfera
dá , - projeção
é , - metade
é .
Passo 3
Logo
varia em
,
em
e
vai de
até o menor entre
e
. Em particular, poderia dividir em
com
e
com
. Mas note que o fator
fará a integral em
dar zero antes de mexer em
.
Passo 4
De fato,
Como esse resultado anula todo o triplo integral, concluímos: