Questão 5. (1,0) (Extra) Calcule a integral
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} x y d z d y d x
transformando-a para coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}x\,y\,dz\,dy\,dx
transformando para coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é:
– trocar (x,y,z) por \bigl(\rho,\varphi,\theta\bigr),
– usar x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi,
– Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi,
– achar os limites em \rho,\varphi,\theta.

Passo 2

Em esféricas
x\,y\,dV =(\rho\sin\varphi\cos\theta)\,(\rho\sin\varphi\sin\theta)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\bigr) =\rho^{4}\sin^{3}\varphi\cos\theta\sin\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
As superfícies do domínio viram:
  • cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi=\pi/4 (porque \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi),
  • esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \rho=2,
  • projeção x^{2}+y^{2}\le1 é \rho\sin\varphi\le1,
  • metade y\ge0 é \theta\in[0,\pi].

Passo 3

Logo \theta varia em [0,\pi], \varphi em [0,\pi/4] e \rho vai de 0 até o menor entre 2 e \tfrac1{\sin\varphi}. Em particular, poderia dividir em
\varphi\in[0,\pi/6] com \rho\le2 e \varphi\in[\pi/6,\pi/4] com \rho\le1/\sin\varphi. Mas note que o fator \cos\theta\sin\theta fará a integral em \theta dar zero antes de mexer em \rho,\varphi.

Passo 4

De fato,
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac12\int_{0}^{\pi}\sin(2\theta)\,d\theta =\frac12\Bigl[-\tfrac1{2}\cos(2\theta)\Bigr]_{0}^{\pi} =0.
Como esse resultado anula todo o triplo integral, concluímos:

Resposta

0.

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