Para calcular a derivada de funções da forma a(x)^{b(x)}, é útil usar a fórmula a^{b}=e^{b \ln a}. Use isto para calcular a derivada das funções a seguir:
f(x)=x^{2 x} ; \quad g(x)=\frac{3^{x^{3}}}{x} ; \quad h(x)=\left(x^{2}+1\right)^{\cos x}
Podemos também calcular a derivada nestes casos usando diferenciação logarítmica: derive \ln (f(x)) e use o fato que esta derivada é igual a \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} para determinar f^{\prime}(x). Refaça o cálculo da derivada das funções acima.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de funções da forma a(x)^{b(x)}. Vamos usar duas estratégias:
  1. Reescrever a(x)^{b(x)}=e^{\,b(x)\ln a(x)} e aplicar a regra da cadeia.
  2. Fazer diferenciação logarítmica: calcular \ln f(x), derivar obtendo \frac{f'(x)}{f(x)} e isolar f'(x).

Passo 2

Calcular f'(x) para f(x)=x^{2x} pelo método exponencial.
Como
f(x)=e^{2x\ln x},
temos
\frac{d}{dx}\bigl(2x\ln x\bigr) =2\ln x+2x\cdot\frac1x =2\ln x+2.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =e^{2x\ln x}\,(2\ln x+2) =x^{2x}(2\ln x+2).

Passo 3

Calcular g'(x) para g(x)=\frac{3^{x^3}}x pelo método exponencial.
Escrevendo 3^{x^3}=e^{x^3\ln3} e g(x)=e^{x^3\ln3}\,x^{-1},
\frac{d}{dx}e^{x^3\ln3} =e^{x^3\ln3}\cdot3x^2\ln3, \qquad \frac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
Pela regra do produto,
g'(x) =e^{x^3\ln3}\cdot3x^2\ln3\cdot x^{-1} +e^{x^3\ln3}\cdot(-x^{-2}) =3^{x^3}\bigl(3x\ln3-\tfrac1{x^2}\bigr).

Passo 4

Calcular h'(x) para h(x)=(x^2+1)^{\cos x} pelo método exponencial.
Escrevendo
h(x)=e^{\cos x\;\ln(x^2+1)},
temos
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\ln(x^2+1)\bigr) =-\sin x\;\ln(x^2+1) +\cos x\;\frac{2x}{x^2+1}.
Logo,
h'(x) =e^{\cos x\ln(x^2+1)} \Bigl(-\sin x\ln(x^2+1)+\frac{2x\cos x}{x^2+1}\Bigr) =(x^2+1)^{\cos x} \Bigl(-\sin x\ln(x^2+1)+\frac{2x\cos x}{x^2+1}\Bigr).

Passo 5

Refazendo f'(x) por diferenciação logarítmica:
\ln f(x)=2x\ln x \quad\Longrightarrow\quad \frac{f'(x)}{f(x)} =(2x\ln x)'=2\ln x+2 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=f(x)(2\ln x+2) =x^{2x}(2\ln x+2),
que coincide com o resultado do Passo 2.

Passo 6

Refazendo g'(x) por diferenciação logarítmica:
\ln g(x)=\ln(3^{x^3})-\ln x =x^3\ln3-\ln x \quad\Longrightarrow\quad \frac{g'(x)}{g(x)} =3x^2\ln3-\frac1x
\Longrightarrow\quad g'(x) =g(x)\Bigl(3x^2\ln3-\tfrac1x\Bigr) =\frac{3^{x^3}}x\Bigl(3x^2\ln3-\tfrac1x\Bigr) =3^{x^3}\bigl(3x\ln3-\tfrac1{x^2}\bigr),
coincidindo com o Passo 3.

Passo 7

Refazendo h'(x) por diferenciação logarítmica:
\ln h(x)=\cos x\ln(x^2+1) \quad\Longrightarrow\quad \frac{h'(x)}{h(x)} =-\sin x\ln(x^2+1)+\cos x\cdot\frac{2x}{x^2+1}
\Longrightarrow\quad h'(x) =h(x)\Bigl(-\sin x\ln(x^2+1)+\frac{2x\cos x}{x^2+1}\Bigr),
idêntico ao Passo 4.

Resposta

f'(x)=x^{2x}\,(2\ln x+2)
g'(x)=3^{x^3}\bigl(3x\ln3-\tfrac1{x^2}\bigr)
h'(x)=(x^2+1)^{\cos x}\!\Bigl(-\sin x\ln(x^2+1)+\tfrac{2x\cos x}{x^2+1}\Bigr)

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