Considerando y=y(x) como uma função de x satisfazendo a condição dada, derive implicitamente para calcular y^{\prime}=d y / d x.
y^{3}+x^{3} y+x y^{2}+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}+y=3.

Passo 1

Temos a equação implícita
y^{3} + x^{3}y + x y^{2} + \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)^{5} + y = 3
onde y=y(x). O conteúdo é derivação implícita: ao derivar cada termo em relação a x usamos \tfrac{d}{dx}y = y' e a regra do produto e da cadeia quando necessário.

Passo 2

Derivando termo a termo e somando tudo igual a zero, obtemos
3y^{2}y' \;+\;\bigl(3x^{2}y + x^{3}y'\bigr)\;+\;\bigl(y^{2} + 2xy\,y'\bigr)\;+\;5\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{4}\cdot(2x + 2y\,y')\;+\;y' \;=\;0.

Passo 3

Expandindo o termo da cadeia e agrupando os termos que contêm y' e os que não contêm, fica
3y^{2}y' + x^{3}y' + 2xy\,y' + 10\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{4}y\,y' + y' \;+\;\bigl(3x^{2}y + y^{2} + 10\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{4}x\bigr) =0.
Ou seja,
y'\Bigl(3y^{2} + x^{3} + 2xy + 10y\,(x^{2}+y^{2})^{4} + 1\Bigr) \;+\;\bigl(3x^{2}y + y^{2} + 10x\,(x^{2}+y^{2})^{4}\bigr) =0.

Passo 4

Isolando y', obtemos
y' = -\frac{3x^{2}y + y^{2} + 10\,x\,(x^{2}+y^{2})^{4}} {3y^{2} + x^{3} + 2xy + 10\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4} + 1}.

Resposta

y' = -\frac{3x^{2}y + y^{2} + 10\,x\,(x^{2}+y^{2})^{4}} {3y^{2} + x^{3} + 2xy + 10\,y\,(x^{2}+y^{2})^{4} + 1}.

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