Considere a curva com equação x^{2}+x^{3} y+y^{3}=1.
(a) Use diferenciação implícita para determinar y^{\prime}=d y / d x.
(b) Determine as equações das retas tangentes à curva nos dois pontos de interseção da curva com o eixo dos x.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2} + x^{3}y + y^{3} = 1
e pede:
(a) a derivada y' = \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita;
(b) as equações das retas tangentes nos pontos em que a curva cruza o eixo x.
Para (b) vamos primeiro achar esses pontos impondo y=0 e depois usar o valor de y' em cada ponto para escrever a reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^{2} + x^{3}y + y^{3} = 1
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(x^{3}y) + \frac{d}{dx}(y^{3}) = 0.
Calculando termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}(x^{3}y) = 3x^{2}y + x^{3}y',
\frac{d}{dx}(y^{3}) = 3y^{2}y'.
Logo a soma dá
2x + \bigl(3x^{2}y + x^{3}y'\bigr) + 3y^{2}y' = 0.

Passo 3

Agrupando os termos com y' em um lado:
x^{3}y' + 3y^{2}y' + 3x^{2}y + 2x = 0 \;\Longrightarrow\; y'\,(x^{3} + 3y^{2}) = -\bigl(3x^{2}y + 2x\bigr).
Portanto
y' = -\frac{3x^{2}y + 2x}{x^{3} + 3y^{2}}.

Passo 4

Para achar as interseções com o eixo x, impomos y=0 na equação da curva:
x^{2} + x^{3}\cdot 0 + 0^{3} = 1 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1.
Os pontos são (1,0) e (-1,0).

Passo 5

Avaliando y' em cada ponto:
  • Em (1,0):
y' = -\frac{3\cdot1^{2}\cdot 0 + 2\cdot1}{1^{3} + 3\cdot0^{2}} = -\frac{2}{1} = -2.
  • Em (-1,0):
y' = -\frac{3\cdot(-1)^{2}\cdot 0 + 2\cdot(-1)}{(-1)^{3} + 3\cdot0^{2}} = -\frac{-2}{-1} = -2.

Passo 6

A equação da reta tangente em (x_{0},y_{0}) é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde m = y'. Assim:
  • Em (1,0) com m=-2:
y - 0 = -2\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 2.
  • Em (-1,0) com m=-2:
y - 0 = -2\,(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = -2x - 2.

Resposta

(a) y' = -\frac{3x^{2}y + 2x}{x^{3} + 3y^{2}}.
(b) Nas interseções (1,0) e (-1,0), as retas tangentes são, respectivamente,
y = -2x + 2
y = -2x - 2.

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