Considere a curva com equação
.
(a) Use diferenciação implícita para determinar
.
(b) Determine as equações das retas tangentes à curva nos dois pontos de interseção da curva com o eixo dos
.
(a) Use diferenciação implícita para determinar
(b) Determine as equações das retas tangentes à curva nos dois pontos de interseção da curva com o eixo dos
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede:
(a) a derivada por diferenciação implícita;
(b) as equações das retas tangentes nos pontos em que a curva cruza o eixo .
Para (b) vamos primeiro achar esses pontos impondo e depois usar o valor de
em cada ponto para escrever a reta tangente.
(a) a derivada
(b) as equações das retas tangentes nos pontos em que a curva cruza o eixo
Para (b) vamos primeiro achar esses pontos impondo
Passo 2
Diferenciando ambos os lados de
em relação a
, temos
Calculando termo a termo:
Logo a soma dá
Passo 3
Agrupando os termos com
em um lado:
Portanto
Passo 4
Para achar as interseções com o eixo
, impomos
na equação da curva:
Os pontos são
e
.
Passo 5
Avaliando
em cada ponto:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
A equação da reta tangente em
é
onde
. Assim:
- Em
com :
- Em
com :
Resposta
(a)
(b) Nas interseções
e
, as retas tangentes são, respectivamente,