Derive as funções abaixo:
3.10 y=\frac{3 x^{2}-e^{x^{2}}+10}{5}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função abaixo, isto é, encontrar a derivada em relação a x:
y=\frac{3 x^{2}-e^{x^{2}}+10}{5}.
Informações dadas:
  • A função é de uma única variável x.
  • Há termos polinomiais, exponenciais e uma constante dentro do numerador.
  • O objetivo explícito é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a escrita dividindo cada termo do numerador por 5. Isso facilita a aplicação das regras de derivação termo a termo:
y=\frac{3}{5}x^{2}-\frac{1}{5}e^{x^{2}}+\frac{10}{5}.
Como \dfrac{10}{5}=2, obtemos
y=\frac{3}{5}x^{2}-\frac{1}{5}e^{x^{2}}+2.

Passo 3

Vou lembrar as regras de derivação que vou usar (breve “aulinha” prática):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Regra do fator constante: se c é constante, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
  • Derivada de potência: \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. No caso n=2, \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Derivada da função exponencial com composto (regra da cadeia): se u(x) é uma função, \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
    Explicando a regra da cadeia com um exemplo simples: para e^{x^{2}}, tomo u(x)=x^{2}, então u'(x)=2x e portanto \dfrac{d}{dx}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\cdot 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da soma e do fator constante, derivamos termo a termo:
Vamos derivar o primeiro termo \dfrac{3}{5}x^{2}.
Usando a regra do fator constante e da potência,
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{5}x^{2}\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=\frac{3}{5}\cdot 2x.
Calculando o produto,
\frac{3}{5}\cdot 2x=\frac{6}{5}x.

Passo 5

Agora derivamos o segundo termo -\dfrac{1}{5}e^{x^{2}}.
Usamos a regra do fator constante e a regra da cadeia para e^{x^{2}}. Tomando u(x)=x^{2} temos u'(x)=2x. Assim,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{5}e^{x^{2}}\right)=-\frac{1}{5}\cdot\frac{d}{dx}\left(e^{x^{2}}\right)=-\frac{1}{5}\cdot\left(e^{x^{2}}\cdot 2x\right).
Multiplicando constantes,
-\frac{1}{5}\cdot 2x e^{x^{2}}=-\frac{2}{5}x e^{x^{2}}.

Passo 6

Derivada do terceiro termo, que é a constante 2.
A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 7

Somando as derivadas obtidas (regra da soma), temos
y'=\frac{6}{5}x-\frac{2}{5}x e^{x^{2}}+0.
Eliminando o zero,
y'=\frac{6}{5}x-\frac{2}{5}x e^{x^{2}}.
Se quiser, podemos fatorar \dfrac{2}{5}x para uma forma alternativa:
y'=\frac{2}{5}x\left(3-e^{x^{2}}\right).

Resposta

y'=\dfrac{6}{5}x-\dfrac{2}{5}x e^{x^{2}}

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