Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função abaixo, isto é, encontrar a derivada em relação a
:
Informações dadas:
- A função é de uma única variável
. - Há termos polinomiais, exponenciais e uma constante dentro do numerador.
- O objetivo explícito é calcular
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a escrita dividindo cada termo do numerador por
. Isso facilita a aplicação das regras de derivação termo a termo:
Como
, obtemos
Passo 3
Vou lembrar as regras de derivação que vou usar (breve “aulinha” prática):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Regra do fator constante: se
é constante, . - Derivada de potência:
. No caso , . - Derivada da função exponencial com composto (regra da cadeia): se
é uma função, .
Explicando a regra da cadeia com um exemplo simples: para, tomo , então e portanto .
Passo 4
Aplicando a regra da soma e do fator constante, derivamos termo a termo:
Vamos derivar o primeiro termo .
Usando a regra do fator constante e da potência,
Vamos derivar o primeiro termo
Usando a regra do fator constante e da potência,
Calculando o produto,
Passo 5
Agora derivamos o segundo termo
.
Usamos a regra do fator constante e a regra da cadeia para . Tomando
temos
. Assim,
Usamos a regra do fator constante e a regra da cadeia para
Multiplicando constantes,
Passo 6
Derivada do terceiro termo, que é a constante
.
A derivada de uma constante é zero:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 7
Somando as derivadas obtidas (regra da soma), temos
Eliminando o zero,
Se quiser, podemos fatorar
para uma forma alternativa: