Calcular a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função. A função dada é
. Informação importante: a função só está definida para
(pois
exige
). O objetivo é encontrar
, a derivada da função em termos de
.
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas que precisaremos (aqui eu explico bem devagar, como se estivéssemos na prova juntos):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: derive a primeira função e multiplique pela segunda, e depois some com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
- Regra da potência (caso base): para qualquer
real,
Aqui
então
.
Passo 3
Identificamos as duas partes do produto na nossa função:
Agora calculamos as derivadas de cada parte (passo a passo):
- Derivada de
: usando a regra da potência,
Expliquei: peguei o expoente
e multiplique por
.
- Derivada de
: pela fórmula do logaritmo,
Passo 4
Aplicamos a regra do produto com os valores que achamos:
Substituindo
:
Passo 5
Agora simplificamos a expressão final:
- O segundo termo:
.
Então
Podemos fatorar
em evidência para uma forma mais compacta:
Lembre-se: essa expressão vale para
. Um chequinho rápido: se
,
e
, faz sentido.