Calcular a derivada das funções:
4.2 y=x^{2} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função. A função dada é \displaystyle y = x^{2}\cdot \ln x. Informação importante: a função só está definida para x>0 (pois \ln x exige x>0). O objetivo é encontrar y', a derivada da função em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas que precisaremos (aqui eu explico bem devagar, como se estivéssemos na prova juntos):
  • Regra do produto: se \displaystyle y = u(x)\cdot v(x), então
y' = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).
Isto significa: derive a primeira função e multiplique pela segunda, e depois some com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
  • Regra da potência (caso base): para qualquer n real,
\frac{d}{dx}(x^{n}) = n x^{n-1}.
Aqui n=2 então \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x.

Passo 3

Identificamos as duas partes do produto na nossa função:
u(x) = x^{2},\qquad v(x) = \ln x.
Agora calculamos as derivadas de cada parte (passo a passo):
  • Derivada de u: usando a regra da potência,
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Expliquei: peguei o expoente 2 e multiplique por x^{2-1}=x^{1}.
  • Derivada de v: pela fórmula do logaritmo,
v'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto com os valores que achamos:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
y' = (2x)\cdot(\ln x) + (x^{2})\cdot\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Agora simplificamos a expressão final:
  • O segundo termo: (x^{2})\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)=x^{2-1}=x.
    Então
y' = 2x\ln x + x.
Podemos fatorar x em evidência para uma forma mais compacta:
y' = x\bigl(2\ln x + 1\bigr).
Lembre-se: essa expressão vale para x>0. Um chequinho rápido: se x=1, \ln 1=0 e y' = 1\cdot(0\cdot2+1)=1, faz sentido.

Resposta

\displaystyle y' = x\bigl(2\ln x + 1\bigr)

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