Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
\left\{\frac{(n-1)(n+2)}{2 n^{2}+2 n+2}\right\}

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
a_n = \frac{(n-1)(n+2)}{2n^2 + 2n + 2}
e pede para verificar se ela converge ou diverge quando n\to\infty. O conteúdo aqui é o cálculo de limite de sequência racional pelo comportamento dos termos de maior grau.

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador e identificamos o denominador em termos de potências de n:
(n-1)(n+2) = n^2 +n -2
e o denominador já é
2n^2 +2n +2.
Assim
a_n = \frac{n^2 + n -2}{2n^2 +2n +2}.

Passo 3

Para achar \lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador por n^2:
a_n = \frac{1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}}.
À medida que n\to\infty, os termos \tfrac{1}{n} e \tfrac{2}{n^2} vão a zero, ficando
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1}{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_n = \tfrac{1}{2}.

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