8.5: Calcular a derivada parcial indicada:
\mathrm{F}_{x}(1,1 / 2) com \mathrm{F}(x, y)=x \operatorname{sen}^{-1}(x-y)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a x de
F(x,y)=x\,\arcsin(x-y)
no ponto \bigl(1,\tfrac12\bigr).
Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, sabendo que
\frac{d}{du}\bigl[\arcsin(u)\bigr]=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em F(x,y)=x\cdot \arcsin(x-y), temos
F_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\bigr]\cdot \arcsin(x-y) + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\arcsin(x-y)\bigr].
Como \frac{\partial}{\partial x}[x]=1 e pela regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial x}[\arcsin(x-y)] =\frac{1}{\sqrt{1-(x-y)^2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y) =\frac{1}{\sqrt{1-(x-y)^2}},
segue
F_x(x,y)=\arcsin(x-y)+\frac{x}{\sqrt{1-(x-y)^2}}.

Passo 3

Agora avaliamos em \bigl(1,\tfrac12\bigr):
F_x\bigl(1,\tfrac12\bigr) =\arcsin\!\bigl(1-\tfrac12\bigr) +\frac{1}{\sqrt{1-(1-\tfrac12)^2}}.

Passo 4

Calculando cada termo:
1-\tfrac12=\tfrac12,\quad \arcsin\!\bigl(\tfrac12\bigr)=\frac{\pi}{6}, \quad \sqrt{1-(\tfrac12)^2}=\sqrt{\tfrac34}=\frac{\sqrt3}{2},
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\frac{1}{\sqrt{1-(\tfrac12)^2}} =\frac{1}{\tfrac{\sqrt3}{2}} =\frac{2}{\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{3}.
Somando os termos,
F_x\bigl(1,\tfrac12\bigr) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\sqrt3}{3}.

Resposta

F_x\bigl(1,\tfrac12\bigr) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\sqrt3}{3}.

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