Dado um número real
Com isto, demonstre as seguintes desigualdades. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para quaisquer (a_{1}, ···, a_{n}, b_{1}, ···, b_{n} \in \mathbb{R}],
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para sequências reais
e
. O conteúdo principal é usar que quadrados são não negativos e as propriedades de soma de quadrados para obter uma condição sobre o discriminante de um polinômio quadrático.
Passo 2
Considere a função em
Como cada termo
é
, temos
para todo
.
Passo 3
Expandindo
:
Chame
então
.
Passo 4
Como
para todo
e
, o discriminante dessa quadrática deve ser
:
Logo,
Passo 5
Substituindo
,
e
de volta,