Dado um número real x \in \mathbb{R}\), definimos módulo ou valor absoluto de \(x\) por \[|x|:= \begin{cases}x, & \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, & \text { se } x<0\end{cases} Com isto, demonstre as seguintes desigualdades. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para quaisquer (a_{1}, ···, a_{n}, b_{1}, ···, b_{n} \in \mathbb{R}], \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot b_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)^{1 / 2} \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para sequências reais \{a_i\} e \{b_i\}. O conteúdo principal é usar que quadrados são não negativos e as propriedades de soma de quadrados para obter uma condição sobre o discriminante de um polinômio quadrático.

Passo 2

Considere a função em t\in\mathbb{R} f(t) \;=\; \sum_{i=1}^{n} \bigl(a_{i} - t\,b_{i}\bigr)^{2}.
Como cada termo \bigl(a_{i} - t\,b_{i}\bigr)^{2} é \ge0, temos f(t)\ge0 para todo t.

Passo 3

Expandindo f(t):
f(t) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(a_{i}^{2}-2t\,a_{i}b_{i}+t^{2}b_{i}^{2}\bigr) =t^{2}\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2} -2t\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}.
Chame
A=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2},\quad B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i},\quad C=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2},
então f(t)=At^{2}-2Bt+C.

Passo 4

Como f(t)=At^{2}-2Bt+C\ge0 para todo t e A\ge0, o discriminante dessa quadrática deve ser \le0:
\Delta = (-2B)^{2}-4AC =4B^{2}-4AC \le0.
Logo,
B^{2}\le A\,C.

Passo 5

Substituindo A, B e C de volta,
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\Bigr)^{2} \;\le\; \Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr) \Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr).

Resposta

\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\Bigr)^{2} \le \Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr) \Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr).

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