Calcule as integrais:
\iiint_{E} z d V, onde E é a região limitada pelo paraboloide z=4 x^{2}+4 y^{2} \mathrm{e} pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E} z \,dV
onde E é a região do espaço limitada por
z = 4x^{2} + 4y^{2}
e pelo plano
z = 4.
O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cilíndricas, pois a região é simétrica em torno do eixo z.

Passo 2

Para descrever E em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\ge0, 0\le\theta\le2\pi. A superfície z=4x^2+4y^2 vira z=4r^2 e a condição de ficar abaixo de z=4 impõe
4r^2 \le 4 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le 1.
Logo
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 1,\quad 4r^2 \le z \le 4.

Passo 3

O elemento de volume em cilíndricas é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{4r^2}^{4} z\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{4r^2}^{4} z\,r\,dz = r\left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=4r^2}^{z=4} = r\cdot\frac{1}{2}\bigl(4^2 - (4r^2)^2\bigr) = \frac{r}{2}\bigl(16 - 16r^4\bigr) =8r\bigl(1 - r^4\bigr).

Passo 5

Agora integramos em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}8r\bigl(1 - r^4\bigr)\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\! \biggl[8\int_{0}^{1}(r - r^5)\,dr\biggr] d\theta.
Calculemos
\int_{0}^{1}(r - r^5)\,dr =\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^6}{6}\right]_{0}^{1} =\frac12 - \frac16 =\frac{1}{3}.
Logo
8\int_{0}^{1}(r - r^5)\,dr = 8\cdot\frac{1}{3} = \frac{8}{3}
e, integrando em \theta,
\int_{0}^{2\pi}\frac{8}{3}\,d\theta =\frac{8}{3}\,2\pi =\frac{16\pi}{3}.

Resposta

\iiint_{E} z\,dV = \frac{16\pi}{3}.

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