Calcule as integrais:
, onde
é a região limitada pelo paraboloide
pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é a região do espaço limitada por
e pelo plano
O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cilíndricas, pois a região é simétrica em torno do eixo
.
Passo 2
Para descrever
em coordenadas cilíndricas definimos
com
,
. A superfície
vira
e a condição de ficar abaixo de
impõe
Logo
Passo 3
O elemento de volume em cilíndricas é
. Assim a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora integramos em
e
:
Calculemos
Logo
e, integrando em
,