Nos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
\frac{d^{3} u}{d t^{3}}+\frac{d^{2} u}{d t^{2}}-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
\frac{d^{3}u}{dt^{3}} + \frac{d^{2}u}{dt^{2}} - 2\,u = 0.
O método é resolver a equação característica associada e, a partir das raízes, montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando cada derivada por r:
r^{3} + r^{2} - 2 = 0.

Passo 3

Testamos uma raiz inteira simples. Para r=1 temos
1^{3} + 1^{2} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0,
logo r=1 é uma raiz.

Passo 4

Fazemos a divisão de polinômios de r^{3}+r^{2}-2 por (r-1). O quociente é
r^{2} + 2r + 2,
pois
r^{3} + r^{2} - 2 = (r-1)(r^{2} + 2r + 2).

Passo 5

Resolvendo r^{2} + 2r + 2 = 0 pelas fórmulas de Bhaskara:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i.
São raízes complexas conjugadas com parte real -1 e imaginária \pm1.

Passo 6

Para cada raiz real r_{1}=1 temos o modo e^{t}. Para as raízes complexas r_{2,3}=-1\pm i, a solução real geral é
e^{-t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).
Somando tudo, a solução geral é
u(t) = C_{1}\,e^{t} \;+\; e^{-t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr),
com C_{1},C_{2},C_{3} constantes reais.

Resposta

u(t) = C_{1}\,e^{t} + e^{-t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).

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