Nos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
O método é resolver a equação característica associada e, a partir das raízes, montar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos a equação característica trocando cada derivada por
:
Passo 3
Testamos uma raiz inteira simples. Para
temos
logo
é uma raiz.
Passo 4
Fazemos a divisão de polinômios de
por
. O quociente é
pois
Passo 5
Resolvendo
pelas fórmulas de Bhaskara:
São raízes complexas conjugadas com parte real
e imaginária
.
Passo 6
Para cada raiz real
temos o modo
. Para as raízes complexas
, a solução real geral é
Somando tudo, a solução geral é
com
constantes reais.