Calcular as derivadas:
b) dd x integral6^tg x arctg t1+t^2 d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada em relação a de uma integral cujo limite superior é uma função de , especificamente . Estamos trabalhando com cálculo de derivadas que envolvem integrais definidas. Para resolver isso, vamos usar a regra de derivação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

A regra que vamos usar diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior F'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que derivamos o limite superior e multiplicamos pela função dentro da integral avaliada nesse limite.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso, a função dentro da integral é f(t) = arctan(t)1 + t^2, u(x) = tan(x) e o limite superior é . Então, vamos identificar e :

Passo 4

Agora, derivamos u'(x) = ddx tan(x) = sec^2(x) em relação a :
A derivada de é .

Passo 5

Em seguida, avaliamos f(tan(x)) = arctan(tan(x))1 + (tan(x))^2 no limite superior :
Note que simplifica para (considerando que está no intervalo onde é a função inversa de ).

Passo 6

Simplificando f(tan(x)) = x1 + tan^2(x) :
f(tan(x)) = xsec^2(x) = x cdot cos^2(x)
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da derivada que mencionamos no Passo 2:
ddx integral6^tan(x) arctan(t)1 + t^2 , dt = f(tan(x)) cdot u'(x) = x cdot cos^2(x) cdot sec^2(x)
Simplificando cos^2(x) cdot sec^2(x) = 1 :

Resposta

Portanto, a derivada é:
ddx integral6^tan(x) arctan(t)1 + t^2 , dt = x

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