Calcular as derivadas:
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada em relação a
de uma integral cujo limite superior é uma função de
, especificamente
. Estamos trabalhando com cálculo de derivadas que envolvem integrais definidas. Para resolver isso, vamos usar a regra de derivação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
A regra que vamos usar diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior
, ou seja,
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que derivamos o limite superior e multiplicamos pela função dentro da integral avaliada nesse limite.
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso caso, a função dentro da integral é
e o limite superior é
. Então, vamos identificar
e
:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
:
A derivada de
é
.
Passo 5
Em seguida, avaliamos
no limite superior
:
Note que
simplifica para
(considerando que
está no intervalo onde
é a função inversa de
).
Passo 6
Simplificando
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da derivada que mencionamos no Passo 2:
Simplificando
:
Resposta
Portanto, a derivada é: