Determine se a série geométrica abaixo é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas, que são séries do tipo , onde é o primeiro termo e é a razão. A gente vai precisar identificar os valores de e na nossa série e verificar se para saber se ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a nossa série para ficar mais fácil de identificar e . A série original é:
Podemos simplificar isso dividindo os expoentes:
Então, a nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o primeiro termo e a razão . No formato da série geométrica padrão , nosso primeiro termo começa em , então precisamos ajustar um pouquinho:
Aqui, o primeiro termo é e a razão é .
Passo 4
Para saber se a série converge, vamos verificar o valor de . Se , a série converge; se , ela diverge.
Então, calculamos:
Sabemos que , então:
Como , temos que .
Passo 5
Como , isso significa que a série geométrica não converge. Em outras palavras, a soma dos termos da série tende ao infinito, ou seja, a série é divergente.