Determine se a série geométrica abaixo é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
(e) sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas, que são séries do tipo , onde é o primeiro termo e é a razão. A gente vai precisar identificar os valores de e na nossa série e verificar se para saber se ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a nossa série para ficar mais fácil de identificar sumn=1^infty pi^n3^n+1 e pi^n3^n+1 = pi^n3^n cdot 3 = 13 ( pi3 )^n . A série original é:
sumn=1^infty 13 ( pi3 )^n
Podemos simplificar isso dividindo os expoentes:
Então, a nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar o primeiro termo sumn=1^infty 13 ( pi3 )^n = 13 sumn=1^infty ( pi3 )^n e a razão . No formato da série geométrica padrão , nosso primeiro termo começa em , então precisamos ajustar um pouquinho:
Aqui, o primeiro termo é e a razão é .

Passo 4

Para saber se a série converge, vamos verificar o valor de |r| = | pi3 | . Se |r| approx 3,14163 approx 1,0472 , a série converge; se , ela diverge.
Então, calculamos:
Sabemos que , então:
Como , temos que .

Passo 5

Como , isso significa que a série geométrica não converge. Em outras palavras, a soma dos termos da série tende ao infinito, ou seja, a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados