Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral
converge ou não. Isso envolve cálculo, mais especificamente análise de integrais impróprias. Vamos precisar olhar como o integrando se comporta perto dos limites de integração, especialmente onde pode ter problemas, como pontos onde o denominador é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador
. Precisamos ver se ele se anula dentro do intervalo de integração, porque isso pode causar uma descontinuidade na função que estamos integrando.
Passo 3
Sabemos que para valores de
próximos de 0, o seno pode ser aproximado pela sua série de Taylor:
. Então, substituindo na expressão do denominador:
Isso mostra que, perto de
, o denominador se comporta como
.
Passo 4
Agora, olhemos para o integrando
. Usando a aproximação que fizemos:
Então, para
próximo de 0, o integrando se comporta como
.
Passo 5
Vamos considerar a integral aproximada perto de 0:
Sabemos que a integral de
converge se
e diverge se
. Aqui,
, que é maior que 1.
Passo 6
Portanto, a integral
diverge. Como o integrando original se comporta de maneira similar perto de 0, podemos concluir que a integral original também diverge.
Resposta
A integral
não converge; ela diverge.