Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral0^1 1x-sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral integral0^1 1x - sen x , dx converge ou não. Isso envolve cálculo, mais especificamente análise de integrais impróprias. Vamos precisar olhar como o integrando se comporta perto dos limites de integração, especialmente onde pode ter problemas, como pontos onde o denominador é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador x - sen x. Precisamos ver se ele se anula dentro do intervalo de integração, porque isso pode causar uma descontinuidade na função que estamos integrando.

Passo 3

Sabemos que para valores de x próximos de 0, o seno pode ser aproximado pela sua série de Taylor: sen x approx x - x^36. Então, substituindo na expressão do denominador:
x - sen x approx x - (x - x^36) = x^36
Isso mostra que, perto de x = 0, o denominador se comporta como x^36.

Passo 4

Agora, olhemos para o integrando 1x - sen x. Usando a aproximação que fizemos:
1x - sen x approx 1x^36 = 6x^3
Então, para x próximo de 0, o integrando se comporta como 6x^3.

Passo 5

Vamos considerar a integral aproximada perto de 0:
integral0^1 6x^3 , dx
Sabemos que a integral de 1x^p converge se p < 1 e diverge se p >= 1. Aqui, p = 3, que é maior que 1.

Passo 6

Portanto, a integral integral0^1 6x^3 , dx diverge. Como o integrando original se comporta de maneira similar perto de 0, podemos concluir que a integral original também diverge.

Resposta

A integral integral0^1 1x - sen x , dx não converge; ela diverge.

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