Calcular as derivadas pela definição:
H. 118 f(x)=3 x+1, \quad x_{0}=2

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a derivada de f(x)=3x+1 no ponto x_{0}=2 usando a definição de derivada. O conteúdo é derivadas e vamos usar a fórmula
f'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(2):
f(2) = 3\cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7.

Passo 3

Agora montamos o quociente de diferença:
\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{(3x + 1) - 7}{x - 2} = \frac{3x - 6}{x - 2}.

Passo 4

Fatorando o numerador:
\frac{3x - 6}{x - 2} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} = 3\quad(\text{para }x \neq 2).

Passo 5

Como o quociente vale 3 para todo x\neq2, o limite é
f'(2) = \lim_{x \to 2} 3 = 3.

Resposta

f'(2) = 3

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