Calcule as integrais indefinidas usando a “Regra de Substituição” ou da “Integração por Partes”:
\int x^{2} \cdot \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\,\ln(x)\,dx
O conteúdo principal aqui é a integração por partes, indicada quando temos um produto de funções que não simplifica por substituição direta.

Passo 2

Na integração por partes usamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = x^{2}\,dx,
pois derivar \ln(x) deixa a integral mais simples.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x^{2}\ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\,\frac{1}{x}\,dx.
Dentro da integral restante temos
\int \frac{x^{3}}{3}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int x^{2}\,\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

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